2.341
Bearbeitungen
Folgen: Unterschied zwischen den Versionen
K
→Literatur zur Didaktik
| [unmarkierte Version] | [gesichtete Version] |
| (8 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder [[Funktion|Funktionen]] mit dem [[Definitionsbereich]] <math>\mathbb{N}</math> (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet. | In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder [[Funktion|Funktionen]] mit dem [[Definitionsbereich]] <math>\mathbb{N}</math> (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet. | ||
In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Systeme können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll | In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Systeme können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll erscheint. | ||
==Definitionen<ref name="weigwww">[[Hans-Georg Weigand]]: Online-Artikel zum Thema Folgen und ihre Didaktik. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/weigand/folgen/folgen.htm. (Version: 15.01.2013 13:30)</ref>== | ==Definitionen<ref name="weigwww">[[Hans-Georg Weigand]]: Online-Artikel zum Thema Folgen und ihre Didaktik. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/weigand/folgen/folgen.htm. (Version: 15.01.2013 13:30)</ref>== | ||
| Zeile 17: | Zeile 17: | ||
<br/><math>a_n=f(a_{n-1},...)</math>, | <br/><math>a_n=f(a_{n-1},...)</math>, | ||
''z.B. Fibonacci-Folge''<br /> | ''z.B. [[Leonardo Fibonacci von Pisa|Fibonacci]]-Folge''<br /> | ||
<math>\begin{eqnarray} | <math>\begin{eqnarray} | ||
a_n&=&a_{n-2}+a_{n-1},\\ | a_n&=&a_{n-2}+a_{n-1},\\ | ||
| Zeile 71: | Zeile 71: | ||
Der Abstand zwischen zwei Quadratzahlen ist eine ungerade natürliche Zahl. Die Folge der Abstände zweier Quadratzahlen bildet demnach eine arithmetische Folge. Die Quadratzahlen gehören deshalb zu den arithmetischen Folgen zweiter Ordnung. Nicht die Differenz der Qudratzahlen selbst ist eine konstante Zahl d, sondern die Differenz der Abstände von je zwei Quadratzahlen ist eine konstante Zahl d.<br /> | Der Abstand zwischen zwei Quadratzahlen ist eine ungerade natürliche Zahl. Die Folge der Abstände zweier Quadratzahlen bildet demnach eine arithmetische Folge. Die Quadratzahlen gehören deshalb zu den arithmetischen Folgen zweiter Ordnung. Nicht die Differenz der Qudratzahlen selbst ist eine konstante Zahl d, sondern die Differenz der Abstände von je zwei Quadratzahlen ist eine konstante Zahl d.<br /> | ||
==Geometrische Zahlenfolgen== | ===Geometrische Zahlenfolgen=== | ||
Bei geometrischen Folgen ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant: | Bei geometrischen Folgen ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant: | ||
<math>\frac{a_n}{a_{n-1}}=q=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}\cdot q.</math><br />Eine funktionale Darstellung ist gegeben durch: | <math>\frac{a_n}{a_{n-1}}=q=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}\cdot q.</math><br />Eine funktionale Darstellung ist gegeben durch: | ||
| Zeile 78: | Zeile 78: | ||
<math>\sqrt{|a_{n+1}||a_{n-1}|}=\sqrt{|q\cdot a_n||\frac{a_n}{q}|}=\sqrt{|a_n|^2}=|a_n|.</math> <br/> | <math>\sqrt{|a_{n+1}||a_{n-1}|}=\sqrt{|q\cdot a_n||\frac{a_n}{q}|}=\sqrt{|a_n|^2}=|a_n|.</math> <br/> | ||
'''Beispiel DIN-Formate für Papier''' | '''Beispiel DIN-Formate für Papier'''<br /> | ||
Beginnend von der Größe A0 (84,1 x 118,9 cm) halbiert man jeweils die längere Seite um zur nächstkleineren Größe A1, A2, ... zu gelangen. Betrachtet man nur die Änderungen der Seitenlängen bilden diese jeweils geometrische Folgen mit dem Faktor <math>q=\frac{1}{2}.</math> | Beginnend von der Größe A0 (84,1 x 118,9 cm) halbiert man jeweils die längere Seite um zur nächstkleineren Größe A1, A2, ... zu gelangen. Betrachtet man nur die Änderungen der Seitenlängen bilden diese jeweils geometrische Folgen mit dem Faktor <math>q=\frac{1}{2}.</math><br /> | ||
'''Beispiel Festverzinsung'''<br /> | |||
Die Verzinsung eines Guthabens kann klassisch durch eine geometrische Folge beschrieben werden, wobei der Zinssatz gerade den Faktor <math>q</math> darstellt. | |||
==Zusammenhang mit Unendlichkeit== | ==Zusammenhang mit Unendlichkeit== | ||
| Zeile 124: | Zeile 126: | ||
*Artin, E.: ''A Freshmen Honors Course in Calculus and Analystic Geometry''. Virginia 1957. | *Artin, E.: ''A Freshmen Honors Course in Calculus and Analystic Geometry''. Virginia 1957. | ||
*Baierlein M. u. a.: ''Anschauliche Analysis''. Ehrenwirth-Verlag 1979. | *Baierlein M. u. a.: ''Anschauliche Analysis''. Ehrenwirth-Verlag 1979. | ||
*Blum W. u. Kirsch A.: ''Zur Konzeption des Analysisunterrichts in Grundkursen''. MU (1979), H. 3, S. 6- 24. | *[[Werner Blum|Blum W.]] u. [[Arnold Kirsch|Kirsch A.]]: ''Zur Konzeption des Analysisunterrichts in Grundkursen''. [[MU]] (1979), H. 3, S. 6- 24. | ||
*Griesel H.: ''Analysis I''. Hannover 1968. | *[[Heinz Griesel|Griesel H.]]: ''Analysis I''. Hannover 1968. | ||
*Lang S.: ''A first Course in Calculus''. Amsterdam u. a. 1973. | *Lang S.: ''A first Course in Calculus''. Amsterdam u. a. 1973. | ||
*Oehler H., FLADT K.: ''Lehr- und Übungsbuch der Analysis''. Stuttgart 1927. | *Oehler H., FLADT K.: ''Lehr- und Übungsbuch der Analysis''. Stuttgart 1927. | ||
*Pickert G.: ''Die Einführung des Stetigkeits- und Grenzwertbegriffs in der Schule. L'Enseignement Mathématique 8 (1962)''. Seite 303 - 310. | *[[Günter Pickert|Pickert G.]]: ''Die Einführung des Stetigkeits- und Grenzwertbegriffs in der Schule. L'Enseignement Mathématique 8 (1962)''. Seite 303 - 310. | ||
*Reidt F., WOLFF G.: ''Die Elemente der Mathematik. Bd. II, Oberstufe''. Berlin 1927. | *Reidt F., WOLFF G.: ''Die Elemente der Mathematik. Bd. II, Oberstufe''. Berlin 1927. | ||
*Schröder H., Uchtmann H.: ''Einführung in die Mathematik. Analysis''. Frankfurt u. a. 1972. | *Schröder H., Uchtmann H.: ''Einführung in die Mathematik. Analysis''. Frankfurt u. a. 1972. | ||
| Zeile 142: | Zeile 144: | ||
*Baumann R.: ''Folgen, Grenzwert, Ableitung. Kurs im 11. Schuljahr''. Inf. Math.unterr. 5 (1980). H. 2, S. 1 - 22. | *Baumann R.: ''Folgen, Grenzwert, Ableitung. Kurs im 11. Schuljahr''. Inf. Math.unterr. 5 (1980). H. 2, S. 1 - 22. | ||
*Danckwerts R., Vogel D.: ''Wo gehören die Folgen hin?''. MU 32 (1986). H. 2, S. 52 - 58. | *[[Rainer Danckwerts|Danckwerts R.]], Vogel D.: ''Wo gehören die Folgen hin?''. MU 32 (1986). H. 2, S. 52 - 58. | ||
*Czech W.: ''Motivierende Aufgaben zum Unterrichtsthema "Folgen" ''. PM 23 (1981), S. 202 - 206 | *Czech W.: ''Motivierende Aufgaben zum Unterrichtsthema "Folgen" ''. [[PM]] 23 (1981), S. 202 - 206 | ||
*Fricker F.: ''Zur Begründung der Exponentialfunktion über Folgen''. PM 23 (1981), S. 44 - 48. | *Fricker F.: ''Zur Begründung der Exponentialfunktion über Folgen''. PM 23 (1981), S. 44 - 48. | ||
*Häberlein F.: ''Zahlenfolgen in Klasse 5''. PM 19 (1977), S. 121 - 126. | *Häberlein F.: ''Zahlenfolgen in Klasse 5''. PM 19 (1977), S. 121 - 126. | ||
| Zeile 149: | Zeile 151: | ||
*Rüthing D.: ''Zur Einführung der Exponentialfunktion über Folgen II''.PM 21 (1979), S. 105 - 108. | *Rüthing D.: ''Zur Einführung der Exponentialfunktion über Folgen II''.PM 21 (1979), S. 105 - 108. | ||
*Vogel A.: ''Differenzengleichungen im MU''. DdM 12 (1984), H. 3, S. 165 - 184. | *Vogel A.: ''Differenzengleichungen im MU''. DdM 12 (1984), H. 3, S. 165 - 184. | ||
*Beutelspacher | *[[Albrecht Beutelspacher|Beutelspacher A.]], Petri: ''Der Goldene Schnitt'' | ||
*Walser H.: ''Der Goldene Schnitt''. Leipzig 1993. | *Walser H.: ''Der Goldene Schnitt''. Leipzig 1993. | ||
*Schmidt G.: ''Die Tennisballpyramide''. MU (1997), H. 2, S 38ff. | *Schmidt G.: ''Die Tennisballpyramide''. MU (1997), H. 2, S 38ff. | ||