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Zahlenbereiche: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:Überischt_Zahlbereiche_1.jpg|200px|thumb|right|]] | [[Datei:Überischt_Zahlbereiche_1.jpg|200px|thumb|right|systematischer Aufbau der Zahlenbereiche, erstellt von Saskia Dubrau]] | ||
Natürliche Zahlen: Die Menge der natürlichen Zahlen enthält alle positiven, ganzen Zahlen. | '''Natürliche Zahlen''': Die Menge der natürlichen Zahlen enthält alle positiven, ganzen Zahlen. | ||
Mathematische Schreibweise:ℕ = {1, 2, 3,…}, ℕ<sub>0</sub> = ℕ ∪ {0} | |||
Ganze Zahlen: Die Menge der ganzen Zahlen enthält die Elemente und alle additiven Inversen | '''Ganze Zahlen''': Die Menge der ganzen Zahlen enthält die Elemente und alle additiven Inversen | ||
der Menge der natürlichen Zahlen mit Null. | der Menge der natürlichen Zahlen mit Null. | ||
Mathematische Schreibweise: ℤ = {x | x ∈ ℕ<sub>0</sub> v –x ∈ ℕ<sub>0</sub>} | |||
Rationale Zahlen: Die Erweiterung der Menge der ganzen Zahlen um die Bruchzahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen | '''Rationale Zahlen''': Die Erweiterung der Menge der ganzen Zahlen um die Bruchzahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen. | ||
Mathematische Schreibweise: ℚ = {x | x= m/n | m, n ∈ ℤ, n≠0} | |||
Irrationale Zahlen: ǁ= Menge der unendlichen und nichtperiodischen Dezimalzahlen. | '''Irrationale Zahlen''': ǁ = Menge der unendlichen und nichtperiodischen Dezimalzahlen. | ||
Reelle Zahlen: Im Bereich der reellen Zahlen wird die Menge der rationalen Zahlen um die Menge der irrationalen Zahlen erweitert. | '''Reelle Zahlen''': Im Bereich der reellen Zahlen wird die Menge der rationalen Zahlen um die Menge der irrationalen Zahlen erweitert. | ||
Mathematische Schreibweise: ℝ = ℚ ∪ ǁ | |||
Komplexe Zahlen: Alle komplexen Zahlen lassen sich als Summe einer reellen Zahl und einem Vielfachen von i (= imaginäre Einheit) | '''Komplexe Zahlen''': Alle komplexen Zahlen lassen sich als Summe einer reellen Zahl und einem Vielfachen von i (= imaginäre Einheit) darstellen: z = x + i·y, wobei x und y reelle Zahlen sind. Dabei x heißt Realteil von z (oder kurz Re(z)) und y Imaginärteil von z (Im(z)). Beachte: In den komplexen Zahlen gilt, dass i²= -1 und das | ||
darstellen: z = x + i·y, wobei x und y reelle Zahlen sind. x heißt Realteil von z (oder kurz Re(z)) und y Imaginärteil von z (Im(z)). Beachte: i²= -1 | √-1= i | ||
Mathematische Schreibweise: ℂ = {z | z = x+iy | x,y ∈ ℝ} | |||
=Gesetzmäßigkeiten= | =Gesetzmäßigkeiten= | ||
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Die natürlichen Zahlen können mit den folgenden die Peano-Axiomen definiert werden: | |||
(P1) 1∈ ℕ | (P1) 1∈ ℕ | ||
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'''Reelle Zahlen''' | '''Reelle Zahlen''' | ||
In der Menge der reellen Zahlen gelten die Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze. Weiterhin | In der Menge der reellen Zahlen gelten die Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze. Weiterhin sind die reellen Zahlen bezüglich Wurzel- und Potenzoperationen abgeschlossen. Daher gelten folgende Gesetze: | ||
1. Potenzgesetze: | |||
i) a<sup>n</sup> · a<sup>m</sup> = a<sup>n+m</sup> | |||
ii) a<sup>n</sup> · b<sup>n</sup> = ( a · b )<sup>n</sup> | |||
iii) (a<sup>n</sup>)<sup>m</sup> = a<sup>(n·m)</sup> | |||
iv) a<sup>n</sup> : a<sup>m</sup> = a<sup>(n-m)</sup> | |||
v) a<sup>n</sup> : b<sup>n</sup> = ( a : b )<sup>n</sup> | |||
2.Wurzelgesetze | |||
i) <sup>n</sup>√a•<sup>n</sup>√b = <sup>n</sup>√a•b | |||
ii) <sup>n</sup>√a:<sup>n</sup>√b =<sup>n</sup>√a:b | |||
iii) <sup>m</sup>√<sup>n</sup>√a = <sup>n•m</sup>√a | |||
iv) (<sup>n</sup>√a)<sup>m</sup> = <sup>n</sup>√<sup>m</sup> | |||
v)<sup>n</sup>√a = a<sup>1:n</sup> | |||
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==Systematischer Aufbau== | ==Systematischer Aufbau== | ||
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Einführung der verschiedenen Zahlenbereiche in den Klassenstufen. In der Grundschule wird der Grundstein für die Einführung der Zahlenbereiche gelegt. Durch das Kennenlernen und Arbeiten mit den Zahlen werden die Schüler auf die folgenden Schuljahre vorbereitet. Anschließend an die Grundschule werden in den nächsten Klassenstufen die einzelnen Zahlenbereiche eingeführt und ihre Eigenschaften detaillierter betrachtet. | |||
Die folgende Abbildung zeigt in welchen Klassenstufen die verschiedenen Zahlenbereiche eingeführt werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass es zu Unterscheidungen in den Lehrplänen der verschiedenen Bundesländern kommen kann. | Die folgende Abbildung zeigt in welchen Klassenstufen die verschiedenen Zahlenbereiche eingeführt werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass es zu Unterscheidungen in den Lehrplänen der verschiedenen Bundesländern kommen kann. | ||
[[Datei: | [[Datei:Systematischer_Aufbau2.jpg|Übersicht über die Einführung der Zahlenbereiche in den Klassenstufen am Bsp. Sachsen-Anhalt, erstellt von Susann Röwer]] | ||
== | ==Themenvernetzung== | ||
In der folgenden Übersicht sehen sieht man eine beispielhafte Verknüpfung mit anderen Themenbereichen im Mathematikunterricht. | In der folgenden Übersicht sehen sieht man eine beispielhafte Verknüpfung mit anderen Themenbereichen im Mathematikunterricht. Für die Erstellung dieser Übersicht wurden verschiedene Lehrbücher betrachtet und verglichen: | ||
[[Datei: | [[Datei:Vernetzungen_zu_anderen_Begriffen1.jpg|Vernetzung der Zahlenbereiche mit weiteren Themen im Mathematikunterricht am Bsp. Sachsen-Anhalt, erstellt von Susann Röwer]] | ||
=Literatur= | =Literatur= | ||
W. Kaballo, | W. Kaballo, Einführung in die Analysis I, II, III, Spektrum, 1999. | ||
K. Fritzsche, Grundkurs Analysis 1, 2, Spektrum-Verlag, 2005. | K. Fritzsche, Grundkurs Analysis 1, 2, Spektrum-Verlag, 2005. | ||
| Zeile 133: | Zeile 159: | ||
H. Heuser, Lehrbuch der Analysis I und II, B.G. Teubner Stuttgart, 1990. | H. Heuser, Lehrbuch der Analysis I und II, B.G. Teubner Stuttgart, 1990. | ||
K. Jacobs, Ideen und Entwicklungen in der Mathematik, Band 2, Aufbau der Mathematik, Vieweg, 1990 | K. Jacobs, Ideen und Entwicklungen in der Mathematik, Band 2, Aufbau der Mathematik, Vieweg, 1990. | ||
[[Kategorie:Enzyklopädie]] | |||