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Funktionsgraph: Unterschied zwischen den Versionen

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Unter einem Funktionsgraphen einer [[Funktion]] <math>f</math>
[[Datei:Schaubild_1.png|thumb|right|300px|<b>Schaubild</b> einer abstrakten diskreten Funktion]]
versteht man die [[Menge]] aller geordnenten Paare <math>(x|y)</math>, mit <math>x</math> aus der Definitionsmenge <math>X</math> und <math>y</math> aus der Zielmenge <math>Y</math>, für die gilt: <math>f(x) = y</math>. <br/>Die Visualisierung dieser Menge erfolgt in einem [[Koordinatensystem]] (zum Beispiel: die [[Lineare Funktionen|lineare Funktion]] in Form einer [[Gerade|Geraden]]). Diese graphische Darstellung (durch Computersoftware) wird auch Plot genannt und gehört zu den ikonischen Repräsentationen.
[[Datei:Schaubild_2.png|thumb|right|300px|<b>Schaubild</b> einer konkreten diskreten Funktion: Zeitabhängigkeit der Temperaturentwicklung]]
[[Datei:Schaubild_3.png|thumb|right|300px|<b>Schaubild</b> einer kontinuierlichen Funktion: Modellfunktion zum Zeit-Weg-Gesetz einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung]]


==Beschreibung==
== Übersicht ==
[[Datei:Funktionsgraph-groß.jpg| thumb |Beispiel eines Funktionsgraphen]]
* Streng genommen ist zwischen „Funktionsgraph“ (als Menge geordneter Paare) und der visualisierenden Darstellung durch ein „Schaubild“ zu unterscheiden:<br />
Die Menge aller geordneten Paare <math>(x|y)</math> kann als geometrische Figur bzw. Punktmenge in der Ebene dargestellt werden. Dies erfolgt durch Abtragung von Punkten in einem Koordinatensystem. Der x-Wert beschreibt die Koordinate an der [[Abszissenachse]] (1. Achse) und der y-Wert die Koordinate an der [[Ordinatenachse]] (2. Achse). Im Vergleich zu [[Wertetabelle|Wertetabellen]] können unendlich viele Wertepaare dargestellt werden. Der Funktionsgraph dient zur Interpretation und Verdeutlichung von Funktionseigenschaften, wie zum Beispiel [[Symmetrie]] und [[Monotonie]].<br/>
''Definition:''
<br/>
: Es sei <math>f</math> eine [[Funktion:_mengentheoretische_Auffassung|Funktion]] von der ''Argumentmenge'' <math>A</math> in die ''Zielmenge'' <math>B</math>, kurz: <math>f\,:A\to B</math>.<br />
<br/>
: Dann ist der '''[[Funktion:_mengentheoretische_Auffassung#Funktionsgraph_2|Funktionsgraph]]''' von <math>f</math> durch <math>{{\operatorname{G}}_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}</math> definiert.<br />
Der Funktionsgraph einer ([[Funktion:_mengentheoretische_Auffassung#einstellige Funktion|einstelligen]]) Funktion [math]f[/math] von <math>A</math> in <math>B</math> besteht also aus allen geordneten Paaren <math>(x,f(x))</math> mit <math>x\in A</math> und <math>f(x)\in B</math>.<br /> (Dabei ist <math>A</math> die ''Definitionsmenge'' von <math>f</math>, die kurz mit <math>{{\operatorname{D}}_{f}}</math> bezeichnet wird. Die Einschränkung auf einstellige Funktionen ist nicht notwendig, wenngleich sie aber in den meisten unterrichtsrelevanten Fällen üblich ist.)
== Visualisierung von Funktionsgraphen ==
* Funktionsgraphen lassen sich z. B. in einem kartesischen [[Koordinatensystem]] visualisieren, indem die geordneten Paare <math>(x,f(x))</math> durch „Punkte“ mit der ''Abszisse'' <math>x</math> (nach rechts auf der ''Rechtsachse'' bzw. der ''1. Koordinatenachse'') und der ''Ordinate'' <math>f(x)</math> (nach oben auf der ''Hochachse'' bzw. der ''2. Koordinatenachse'') abgetragen werden. Insbesondere Funktionsgraphen reeller Funktionen werden auf diese Weise visualisiert.
* Anstelle eines kartesischen Koordinatensystems sind auch andere zweidimensionale Koordinatensysteme möglich, z. B. Polarkoordinatensysteme. Und auch dreidimensionale Koordinatensysteme (z. B. für kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten) können einer Visualisierung dienen, so etwa von Raumkurven oder Flächen.)
* Solche Visualisierungen können insbesondere ''zeichnerisch'' (von Hand als Skizze oder mit Hilfe von Zeicheninstrumenten) oder mit Hilfe von [[Funktionenplotter|''Funktionenplottern'']] erfolgen. Die dabei erzeugten Zeichnungen oder [[Funktionenplotter|''Funktionsplots'']] sind aber nur [[Darstellungsarten_von_Funktionen|''Darstellungen'']] eines gegebenen Funktionsgraphen und nicht mit diesem identisch. Jede solche visualisierende Darstellung ist ein [[Schaubild_einer_Funktion|'''Schaubild''']] des Funktionsgraphen und also solche nur eine [[Funktionenplotter#Simulation_Funktionsgraph|''Simulation'']] des Graphen bzw. der Funktion. Solche Schaubilder sind ''ikonische Repräsentationen'' einer Funktion.
* Ein (formaler) '''Funktionsgraph''' wird also durch ein (konkretes) '''Schaubild''' visualisiert und ist von diesem zu unterscheiden.
* Einem konkreten Funktionsgraphen kann man verschiedene Schaubilder zuordnen.
* Legt man die mengentheoretische Identität einer Funktion <math>f</math> gemäß <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}</math> zugrunde, so folgt <math>{{\operatorname{G}}_{f}}=f</math>. <ref>Vgl. hierzu [[Schaubild_einer_Funktion#Dieudonné|Dieudonné]].</ref>


[[Datei:Funktionsbeispiel.PNG|300px]]
== Beispiele ==
<br/>
* Das erste Beispiel zeigt ein Schaubild einer nicht-numerischen diskreten Funktion, bei der jedem abstrakten Objekt A, B, C, ... eindeutig ein symbolisch dargestelltes technisches Objekt zugeordnet wird.
<small>Abbildung 1</small>
* Das zweite Beispiel zeigt ein Schaubild einer diskreten numerischen Funktion, bei der einigen Tageszeitpunkten eindeutig eine bestimmte Temperatur zugeordnet wird.
* Das dritte Beispiel zeigt ein Schaubild einer kontinuierlichen Modellfunktion des Zeit-Weg-Gesetzes einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Erkennbar wird hier, dass nach der doppelten Zeitdauer der vierfache Weg zurückgelegt wird.
<!--
== Forschungsumfeld ==


<br/>
== Genese ==
<br/>
Der Graph dieser Funktion (Abbildung 1) erlaubt uns folgende Aussagen über die Eigenschaften der zugehörigen Funktion:
* Im dargestellten [[Intervall]] ist die Funktion streng monoton wachsend .
* Die Funktion schneidet im Punkt <math>(0|1)</math> die [[Ordinatenachse]].
* Der Graph der Funktion ist eine [[Parabel]].


==Exemplarische Beispielaufgaben aus der Schulbuchliteratur==
== Fachdidaktische Diskussion ==
;Hauptschule
-->
:''Klassenstufe 7:''
== Literatur ==
::Maßstab,  Mathematik Hauptschule Klasse 7 (2007): Mathematik Klasse 7, Schroedel Verlag GmbH, ISBN-13:9783507844377, S.33
* Hischer, Horst [2016]: ''Mathematik – Medien – Bildung. Medialitätsbewusstsein als Bildungsziel: Theorie und Beis''piele. Wiesbaden: Springer Spektrum.
;Realschule
== Anmerkungen ==
:''Klassenstufe 7:''
<references />
::Faktor 7 - Mathematik Realschule (2000): Mathematik Klasse 7, Schroedel Verlag GmbH, ISBN-10:3507840774, S.7ff
{{zitierhinweis}}
::Mathematik Heute 7 Realschule Niedersachsen (2006): Mathematik Klasse 7, Schroedel Verlag GmbH, ISBN-13:9783507836570, S.12
;Gymnasium
:''Klassenstufe 7:''
::Mathematik Neue Wege. Ein Arbeitsbuch  für Gymnasien (2001): Mathematik Klasse 7, Schroedel Verlag GmbH,  ISBN-10:3507854570, S.6
::LS Lambacher Schweizer (2007) Niedersachsen: Mathematik Klasse 7, Klett, ISBN-10:3127345763, S.20
::LS Lambacher Schweizer (1993) NRW: Mathematik Klasse 7, Klett, ISBN-13:9783127307207, S.10ff
::Hahn/Dzewas Mathematik 7 (1995): Mathematik Klasse 7, Westermann, ISBN-10:3141129576, S.8
::Mathematik Neue Wege 7: Arbeitsbuch für Gymnasium (2001): Mathematik Klasse 7, Schroedel Verlag GmbH, ISBN-13:9783507854574, S.6ff
:''Klassenstufe 8:''
::Mathematik 8 Sachsen-Anhalt Gymnasium (2006): Mathematik Klasse 8, Duden Paetec,  ISBN-13:9783898185882, S.67
:''Klassenstufe 10:''
::Mathematik 10 Sachsen-Anhalt Gymnasium (2004): Mathematik Klasse 10, Duden Paetec,  ISBN-13:9783898181532, S.44f
:''Klassenstufe 11:''
::Elemente der Mathematik 11 (2001): Mathematik Klasse 11, Schroedel Verlag GmbH, ISBN-10:3507839318, S.8ff
::LS Analysis Grundkurs Gesamtausgabe (1990): Mathematik Klasse 11, Klett, ISBN-13:9783127396409, S.18
:''Klassenstufe 12/13:''
::Elemente der Mathematik 12/13 (2003): Mathematik Klasse 12 und 13, Schroedel Verlag GmbH, ISBN-10:3507839334, S.92ff
 
==Beispiele für Erklärungen und Verwendungen aus der Schulbuchliteratur==
;Gymnasium
:''Klassenstufe 7:''
::Mathematik Neue Wege. Ein Arbeitsbuch für Gymnasien (2001): Mathematik Klasse 7, Schroedel Verlag GmbH, ISBN-10:3507854570, S.8
:''Klassenstufe 11:''
::Elemente der Mathematik 11 (2001): Mathematik Klasse 11, Schroedel Verlag GmbH, ISBN-10:3507839318, S.11
 
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Darstellungsarten von Funktionen]]

Aktuelle Version vom 16. Juni 2016, 12:08 Uhr

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Schaubild einer abstrakten diskreten Funktion
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Schaubild einer konkreten diskreten Funktion: Zeitabhängigkeit der Temperaturentwicklung
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Schaubild einer kontinuierlichen Funktion: Modellfunktion zum Zeit-Weg-Gesetz einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Übersicht

  • Streng genommen ist zwischen „Funktionsgraph“ (als Menge geordneter Paare) und der visualisierenden Darstellung durch ein „Schaubild“ zu unterscheiden:

Definition:

Es sei eine Funktion von der Argumentmenge in die Zielmenge , kurz: .
Dann ist der Funktionsgraph von durch definiert.

Der Funktionsgraph einer (einstelligen) Funktion [math]f[/math] von in besteht also aus allen geordneten Paaren mit und .
(Dabei ist die Definitionsmenge von , die kurz mit bezeichnet wird. Die Einschränkung auf einstellige Funktionen ist nicht notwendig, wenngleich sie aber in den meisten unterrichtsrelevanten Fällen üblich ist.)

Visualisierung von Funktionsgraphen

  • Funktionsgraphen lassen sich z. B. in einem kartesischen Koordinatensystem visualisieren, indem die geordneten Paare durch „Punkte“ mit der Abszisse (nach rechts auf der Rechtsachse bzw. der 1. Koordinatenachse) und der Ordinate (nach oben auf der Hochachse bzw. der 2. Koordinatenachse) abgetragen werden. Insbesondere Funktionsgraphen reeller Funktionen werden auf diese Weise visualisiert.
  • Anstelle eines kartesischen Koordinatensystems sind auch andere zweidimensionale Koordinatensysteme möglich, z. B. Polarkoordinatensysteme. Und auch dreidimensionale Koordinatensysteme (z. B. für kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten) können einer Visualisierung dienen, so etwa von Raumkurven oder Flächen.)
  • Solche Visualisierungen können insbesondere zeichnerisch (von Hand als Skizze oder mit Hilfe von Zeicheninstrumenten) oder mit Hilfe von Funktionenplottern erfolgen. Die dabei erzeugten Zeichnungen oder Funktionsplots sind aber nur Darstellungen eines gegebenen Funktionsgraphen und nicht mit diesem identisch. Jede solche visualisierende Darstellung ist ein Schaubild des Funktionsgraphen und also solche nur eine Simulation des Graphen bzw. der Funktion. Solche Schaubilder sind ikonische Repräsentationen einer Funktion.
  • Ein (formaler) Funktionsgraph wird also durch ein (konkretes) Schaubild visualisiert und ist von diesem zu unterscheiden.
  • Einem konkreten Funktionsgraphen kann man verschiedene Schaubilder zuordnen.
  • Legt man die mengentheoretische Identität einer Funktion gemäß zugrunde, so folgt . [1]

Beispiele

  • Das erste Beispiel zeigt ein Schaubild einer nicht-numerischen diskreten Funktion, bei der jedem abstrakten Objekt A, B, C, ... eindeutig ein symbolisch dargestelltes technisches Objekt zugeordnet wird.
  • Das zweite Beispiel zeigt ein Schaubild einer diskreten numerischen Funktion, bei der einigen Tageszeitpunkten eindeutig eine bestimmte Temperatur zugeordnet wird.
  • Das dritte Beispiel zeigt ein Schaubild einer kontinuierlichen Modellfunktion des Zeit-Weg-Gesetzes einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Erkennbar wird hier, dass nach der doppelten Zeitdauer der vierfache Weg zurückgelegt wird.

Literatur

  • Hischer, Horst [2016]: Mathematik – Medien – Bildung. Medialitätsbewusstsein als Bildungsziel: Theorie und Beispiele. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

  1. Vgl. hierzu Dieudonné.


Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden:
Madipedia (2016): Funktionsgraph. Version vom 16.06.2016. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Funktionsgraph&oldid=24753.