Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 14. Juni 2016, 21:01 Uhr

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Lineare Funktionen: Visualisierung von „Steigung“>

Die meist so genannten „linearen Funktionen“ gehören zu den ersten sog. „elementaren Funktionen“, die im Mathematikunterricht auftreten.
Für den schulischen Kontext gilt folgende umfassende
Definition:

Es sei

f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

mit

m\in \mathbb {R}

,

b\in \mathbb {R}

und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle f(x)=m·x+b} für alle

x\in \mathbb {R}

.

f

ist dann eine lineare Funktion.

Das Schaubild des Funktionsgraphen von $f$ ist eine Gerade mit der Steigung $m$ . Stellt man diese Gerade in einem kartesischen Koordinatensystem mit der $x$ -Achse als Rechtsachse und der $y$ -Achse als Hochachse dar, so ist $b$ der sog. $y$ -Achsenabschnitt, die Gerade verläuft also durch den Punkt mit den Koordinaten $(0;b)$ .

Ergänzungen und Anmerkungen

Im Mathematikunterricht tauchen lineare Funktionen anfangs noch nicht von $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ auf, sondern allenfalls von $\mathbb {Q}$ in $\mathbb {Q}$ oder sogar nur von Teilmengen davon.
Es sind „Steigung“ und „Anstieg“ zu unterscheiden: Der Anstieg ist die (absolute) „Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten auf einer Geraden, die Steigung ist hingegen die „relative Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten einer Geraden, also der Quotient aus der absoluten Höhendifferenz und der absoluten "Entfernungsdifferenz".
Die Steigung kann man – wie bei Verkehrsschildern üblich – auch in Prozent angeben.
Die (übliche) Bezeichnung „lineare Funktion“ ist für die hier betrachteten Funktionen eigentlich nicht korrekt: Geht man nämlich davon aus, dass „Abbildung“ und „Funktion“ Synonyme sind, so wird das Problem sofort klar, denn für eine „lineare Abbildung“ gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=m·x} , also ist dann $b=0$ . Funktionen vom Typ Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=m·x+b} müssten daher eigentlich „affine Funktionen“ genannt werden, kompromissweise ist auch „affin-lineare Funktionen“ denkbar.
Die im Mathematikunterricht anzutreffende Bezeichnung „proportionale Funktion“ ist vom Typ Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=m·x} , also im Sinne der (Linearen) Algebra eine „lineare Abbildung“.

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden:
Madipedia (2016): Lineare Funktionen. Version vom 14.06.2016. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Lineare_Funktionen&oldid=24706.

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-Die lineare Funktion gehört zu den ersten elementaren Funktionen, die die Schüler/innen kennenlernen. Sie kann auf unterschiedlichste Weise definiert werden:
+== Übersicht ==
+[[Datei:Lineare_Funktionen_Steigung.png|thumb|right|400px|Lineare Funktionen: Visualisierung von „Steigung“>]]
+Die meist so genannten „linearen Funktionen“ gehören zu den ersten sog. „elementaren Funktionen“, die im Mathematikunterricht auftreten. <br />
+Für den schulischen Kontext gilt folgende umfassende<br />
+''Definition:''
+: Es sei <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} </math> mit <math>m\in \mathbb{R}</math>, <math>b\in \mathbb{R}</math> und <math>f(x)=m·x+b</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math>.<br />
+: <math>f</math> ist dann eine '''lineare Funktion'''.
+Das ''[[Schaubild_einer_Funktion|Schaubild]]'' des Funktionsgraphen von <math>f</math> ist eine '''Gerade''' mit der '''Steigung''' <math>m</math>. Stellt man diese Gerade in einem kartesischen Koordinatensystem mit der <math>x</math>-Achse als Rechtsachse und der <math>y</math>-Achse als Hochachse dar, so ist <math>b</math> der sog. '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''', die Gerade verläuft also durch den Punkt mit den Koordinaten <math>(0;b)</math>.
-* Eine lineare Funktion ist eine Funktion f: |R --> |R, die durch folgende Funktionsgleichung definiert ist: f(x)=y=mx+n. Die Variablen m und n sind aus dem Bereich der reellen Zahlen, wobei m den Anstieg und n den Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der Ordinatenachse) beschreibt.
+== Ergänzungen und Anmerkungen ==
+* Im Mathematikunterricht tauchen lineare Funktionen anfangs noch nicht von <math>\mathbb{R}</math> in <math>\mathbb{R}</math> auf, sondern allenfalls von <math>\mathbb{Q}</math> in <math>\mathbb{Q}</math> oder sogar nur von Teilmengen davon.
+* Es sind „Steigung“ und „Anstieg“ zu unterscheiden: Der Anstieg ist die (absolute) „Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten auf einer Geraden, die Steigung ist hingegen die „relative Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten einer Geraden, also der Quotient aus der absoluten Höhendifferenz und der absoluten "Entfernungsdifferenz".
+* Die Steigung kann man – wie bei Verkehrsschildern üblich – auch in Prozent angeben.
+* Die (übliche) Bezeichnung „lineare Funktion“ ist für die hier betrachteten Funktionen eigentlich nicht korrekt: Geht man nämlich davon aus, dass „Abbildung“ und „Funktion“ Synonyme sind, so wird das Problem sofort klar, denn für eine „lineare Abbildung“ gilt <math>f(x)=m·x</math>, also ist dann <math>b=0</math>. Funktionen vom Typ <math>f(x)=m·x+b</math> müssten daher eigentlich ''„affine Funktionen“'' genannt werden, kompromissweise ist auch ''„affin-lineare Funktionen“'' denkbar.
+* Die im Mathematikunterricht anzutreffende Bezeichnung „proportionale Funktion“ ist vom Typ <math>f(x)=m·x</math>, also im Sinne der (Linearen) Algebra eine „lineare Abbildung“.
-* Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist, die die Ordinatenachse in nur einem Punkt schneidet.
+{{Zitierhinweis}}
-* Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Anstieg (Steigung, Zuwachsrate) konstant ist.
-Typischer Weise wird die lineare Funktion in der 8. Klasse nach den proportionalen Funktionen der Form f(x)=y=mx eingeführt.
-==Aufgabenbeispiele==
-==Probleme mit linearen Funktionen==
-Ein häufiges Problem im Themengebiet der linearen Funktionen stellt die Abgrenzung von Begrifflichkeiten dar. So sind die linearen Funktionen im Bereich der reellen Zahlen zu unterscheiden von den linearen Funktionen in einem Vektorraum. Die linearen Funktionen müsste man demnach eigentlich affine Funktionen, da die Definition der Linearität hier nicht zutrifft.
-Eine weitere Schwierigkeit stellt der Begriff des Anstiegs dar. Hierbei handelt es sich um ein sprachliches Problem, da das Wort "Anstieg" bereits eine aufwärts gerichtete Gerade hervortäuscht. Demnach muss man als Lehrer/in bedenken, dass die Schüler/innen zunächst annehmen, dass ein Anstieg immer positiv ist. Bei der Einführung des Begriffes sollte also darauf geachtet werden, dass auf dieses Problem aufmerksam gemacht wird.

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