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Pfeildiagramm: Unterschied zwischen den Versionen

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siehe auch: [[Baustelle:Mengendiagramm|Mengendiagramm]]
Pfeildiagramme dienen zur graphischen Veranschaulichung der Zusammenhänge zwischen [[Menge|Mengen]] und [[Funktion|Funktionen]]. Diese Darstellungsart basiert auf dem Schema der [[Venn-Diagramm|Venn-Diagramme]].


Pfeildiagramme dienen zur graphischen Veranschaulichung der Zusammenhänge zwischen Mengen und Funktionen. Diese Darstellungsart basiert auf dem Schema der [[Baustelle:Venn-diagramme|Venn-Diagramme]].
<br/>


:'''[[Baustelle:Darstellungsarten von Funktionen|weitere Darstellungsarten von Funktionen]]'''


==Beispiel für den Einsatz von Venn-Diagrammen bei Funktionen:==
==Beschreibung==
(http://www.cevis.uni-bremen.de/Binaries/Binary978/Kap4FunkGleich.pdf)
[[Datei:Pfeildiagramm-groß.jpg| thumb |Beispiel eines Pfeildiagramms]]
Abb. 4.1: Beispiel eines Mengendiagramms einer Funktion
Am Pfeildiagramm lassen sich grundlegende Eigenschaften (z.B. [[Umkehrbarkeit]]) sowie die [[Verkettung]] von Funktionen ikonisch gut verdeutlichen.  
Verschiedenen Personen (A, B, C und D) haben jeweils ein Haustier.
Bei dieser Darstellungsart werden bewusst spezielle Eigenschaften der Definitions- bzw. Wertemengen abgesehen.<ref>[[Werner Blum|Blum W.]], [[Günter Törner|Törner, G.]]: ''Didaktik der Analysis.'' Vandenhoeck & Ruprecht Verlag, Göttingen, 1983, Seite 23</ref>
Jeder Person kann also ein Haustier zugeordnet werden. Hätte eine
Person mehrere Haustiere, wäre die Zuordnung keine Funktion.
Allerdings dürfen Elemente der Wertemenge mehreren Elementen der
Definitionsmenge zugeordnet sein; Funktionswerte können mehrfach
angenommen werden.
Eine Darstellung mit dem im Beispiel verwendeten Venn-Diagramm
bietet sich nur an, wenn die Definitionsmenge wenige Werte enthält.
Häufig ist die Definitionsmenge jedoch die Menge ! der reellen
Zahlen, ein Intervall etc. Dann bietet sich folgende Darstellung an.
[[Baustelle:Funktionsgraph|Funktionsgraph]]


==Beispiel für den Einsatz von Pfeildiagrammen bei Funktionen==
Pfeildiagramme eignen sich besonders für zu visualisierende Beispiele über kleine Mengen. Durch die Darstellung des [[Definitionsbereich|Definitionsbereichs]] sowie des [[Wertebereich|Wertebereichs]] als zwei Mengenkreise und den direkten Abbildungspfeilen zwischen zwei Elementen der Mengen lassen sich grundlegende Begriffe für Funktionen gut erklären. Ein großer Vorteil dieser Darstellungsart liegt im Alltagsbezug, wie das unten verwendete Beispiel verdeutlicht. Der Einsatz von Funktionen im üblichen Sinn der Mathematik schreckt viele zunächst ab, die sich Mathematik abstrakt nur durch Zahlen repräsentiert nicht vorstellen können. Dieses kleine Beispiel wäre denkbar, um folgende Sachverhalte zu erarbeiten:
* Wann ist eine [[Abbildung]] / eine [[Funktion]]
* Wann ist eine Funktion [[Bijektivität|bijektiv]], [[Injektivität|injektiv]] oder [[Surjektivität|surjektiv]]
* Wann ist eine Funktion eindeutig /eineindeutig (umkehrbar-eindeutig)
* uvm.
'''Beispielbeschreibung:'''
Eine Familie hat 3 Kinder. Anlässlich einer großen Jubiläumsfeier soll die ganze Familie neue Schuhe erhalten. Aus diesem Grund wird jedes Familienmitglied einer Schuhgröße zugeordnet. Im Pfeildiagramm dargestellt ergibt sich zum Beispiel:
[[Datei: Pfeildiagramm-Beispiel.jpg|500px]]


==Exemplarische Beispielaufgaben aus der Schulbuchliteratur==
==Exemplarische Beispielaufgaben aus der Schulbuchliteratur==
;Gymnasium
;Gymnasium
:''Klassenstufe 7:''
:''Klassenstufe 7:''
::Lernstufen Mathematik 7 (1994): Mathematik Klasse 7,  Cornelsen, ISBN-10:9783464521076, S.41
::Lernstufen Mathematik 7 (1994): Mathematik Klasse 7,  Cornelsen, ISBN-13:9783464521076, S.41
 
::Hahn/Dzewas Mathematik 7 (1995): Mathematik Klasse 7, Westermann, ISBN-10:3141129576, S.7
::Hahn/Dzewas Mathematik 7 (1995): Mathematik Klasse 7, Westermann, ISBN-10:3141129576, S.7
::Mathematik 7. Schuljahr (1986): Mathematik  Klasse 7, Schwamm Bagel, ISBN-10:3590123435, S.19
:''Klassenstufe 8:''
:''Klassenstufe 8:''
::Mathematik 8 Sachsen-Anhalt Gymnasium (2006): Mathematik Klasse 8, Duden Paetec,  ISBN-10:9783898185882, S.67
::Mathematik 8 Sachsen-Anhalt Gymnasium (2006): Mathematik Klasse 8, Duden Paetec,  ISBN-13:9783898185882, S.67
 
 
==Beispiele des Einsatzes von unterstützender Lernsoftware==
Eine Beispiel-Software, die eine Umsetzung von Pfeildiagrammen im Zusammenhang mit [[Leiterdiagramm|Leiterdiagrammen]] und [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] ermöglicht, ist das offene und kostenlose Programm "Squiggle-M" aus dem Projekt [[SAIL-M]].
 
Die Software ist für den Einsatz in (Hoch-)Schulen entwickelt worden und ermöglicht eine computerunterstützende Einführung von Funktionen von
zunächst [[Pfeildiagramm|Pfeildiagrammen]] auf erweiterte Leiterdiagramme für reelle Funktionen bis hin zu Funktionsgraphen zur Untersuchung von Änderungsaspekten einer Funktion.
Durch den Einsatz einer solchen digitalen Visualisierung ist die Erstellung von dynamischen Pfeildiagrammen möglich. Dies macht die Visualisierung anschaulicher und eine schülerorientierte schrittweise Erarbeitung von Eigenschaften an Beispielen bis hin zu daraus zu entwickelnden Definitionen denkbar.
<ref>[[Andreas Fest|Fest, A.]],[[Andrea Hoffkamp|Hoffkamp, A]]: ''Funktionale Zusammenhänge im computerunterstützten Darstellungstransfer erkunden.''
in: Sprenger, J., Wagner, A. & Zimmermann, M. (Hrsg.): Mathematik lernen - darstellen - deuten - verstehen. Sichtweisen zum Mathematiklernen vom Kindergarten bis zur Hochschule, Wiesbaden, Springer Spektrum, 2012</ref>
 
==Quellen==
<references>


==Beispiele für Erklärungen und Verwendungen aus der Schulbuchliteratur==


== ==
:'''[[Baustelle:Darstellungsarten von Funktionen|weitere Darstellungsarten von Funktionen]]'''


[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Darstellungsarten von Funktionen]]
[[Kategorie:Darstellungsarten von Funktionen]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
{{zitierhinweis}}

Aktuelle Version vom 18. Januar 2016, 13:59 Uhr

Pfeildiagramme dienen zur graphischen Veranschaulichung der Zusammenhänge zwischen Mengen und Funktionen. Diese Darstellungsart basiert auf dem Schema der Venn-Diagramme.



Beschreibung

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Beispiel eines Pfeildiagramms

Am Pfeildiagramm lassen sich grundlegende Eigenschaften (z.B. Umkehrbarkeit) sowie die Verkettung von Funktionen ikonisch gut verdeutlichen. Bei dieser Darstellungsart werden bewusst spezielle Eigenschaften der Definitions- bzw. Wertemengen abgesehen.[1]

Beispiel für den Einsatz von Pfeildiagrammen bei Funktionen

Pfeildiagramme eignen sich besonders für zu visualisierende Beispiele über kleine Mengen. Durch die Darstellung des Definitionsbereichs sowie des Wertebereichs als zwei Mengenkreise und den direkten Abbildungspfeilen zwischen zwei Elementen der Mengen lassen sich grundlegende Begriffe für Funktionen gut erklären. Ein großer Vorteil dieser Darstellungsart liegt im Alltagsbezug, wie das unten verwendete Beispiel verdeutlicht. Der Einsatz von Funktionen im üblichen Sinn der Mathematik schreckt viele zunächst ab, die sich Mathematik abstrakt nur durch Zahlen repräsentiert nicht vorstellen können. Dieses kleine Beispiel wäre denkbar, um folgende Sachverhalte zu erarbeiten:


Beispielbeschreibung:

Eine Familie hat 3 Kinder. Anlässlich einer großen Jubiläumsfeier soll die ganze Familie neue Schuhe erhalten. Aus diesem Grund wird jedes Familienmitglied einer Schuhgröße zugeordnet. Im Pfeildiagramm dargestellt ergibt sich zum Beispiel:


Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt

Exemplarische Beispielaufgaben aus der Schulbuchliteratur

Gymnasium
Klassenstufe 7:
Lernstufen Mathematik 7 (1994): Mathematik Klasse 7, Cornelsen, ISBN-13:9783464521076, S.41
Hahn/Dzewas Mathematik 7 (1995): Mathematik Klasse 7, Westermann, ISBN-10:3141129576, S.7
Mathematik 7. Schuljahr (1986): Mathematik Klasse 7, Schwamm Bagel, ISBN-10:3590123435, S.19
Klassenstufe 8:
Mathematik 8 Sachsen-Anhalt Gymnasium (2006): Mathematik Klasse 8, Duden Paetec, ISBN-13:9783898185882, S.67


Beispiele des Einsatzes von unterstützender Lernsoftware

Eine Beispiel-Software, die eine Umsetzung von Pfeildiagrammen im Zusammenhang mit Leiterdiagrammen und Funktionsgraphen ermöglicht, ist das offene und kostenlose Programm "Squiggle-M" aus dem Projekt SAIL-M.

Die Software ist für den Einsatz in (Hoch-)Schulen entwickelt worden und ermöglicht eine computerunterstützende Einführung von Funktionen von zunächst Pfeildiagrammen auf erweiterte Leiterdiagramme für reelle Funktionen bis hin zu Funktionsgraphen zur Untersuchung von Änderungsaspekten einer Funktion. Durch den Einsatz einer solchen digitalen Visualisierung ist die Erstellung von dynamischen Pfeildiagrammen möglich. Dies macht die Visualisierung anschaulicher und eine schülerorientierte schrittweise Erarbeitung von Eigenschaften an Beispielen bis hin zu daraus zu entwickelnden Definitionen denkbar. [2]

Quellen

<references>


Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden:
Madipedia (2016): Pfeildiagramm. Version vom 18.01.2016. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Pfeildiagramm&oldid=23277.
  1. ↑ Blum W., Törner, G.: Didaktik der Analysis. Vandenhoeck & Ruprecht Verlag, Göttingen, 1983, Seite 23
  2. ↑ Fest, A.,Hoffkamp, A: Funktionale Zusammenhänge im computerunterstützten Darstellungstransfer erkunden. in: Sprenger, J., Wagner, A. & Zimmermann, M. (Hrsg.): Mathematik lernen - darstellen - deuten - verstehen. Sichtweisen zum Mathematiklernen vom Kindergarten bis zur Hochschule, Wiesbaden, Springer Spektrum, 2012
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