Baustelle:Relation

Übersicht

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik mit Bezug auf den Gebrauch in der Philosophie im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „Zuordnung“) verwendet, und so wird es im einfachsten Fall im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen bzw. genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen zu beschreiben, also darum, ob $a$ zu $b$ „gehört“ bzw. ob und wie $a$ zu $b$ „in Beziehung steht“, falls etwa $a\in A$ und $b\in B$ gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie ${{a}^{2}}=2b-1$ oder eine Ungleichung wie $3a<2{\sqrt {b}}$ beschrieben werden
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit $R$ bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare $(a,b)$ aus der „Produktmenge“ $A\times B$ gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge $A\times B$ als „Relation zwischen $A$ und $B$“ – oder genauer: als „Relation von $A$ nach $B$“ – aufzufassen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber ihre Zusammensetzung bzw. Struktur nicht verliert, wenn man in $A\times B$ anstelle von $A$ und $B$ beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge $A\times B$ als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.

Definitionen

Grundlegende Definitionen

Der formalmathematischen Definition von „Relation liegt“ das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit $(a,b)$ bezeichnet, wobei es im Gegensatz zur mit $\{a,b\}$ bezeichneten Menge auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ ankommt. In diesem Sinne kann man die Darstellung $(a,b)$ als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden, aber dem polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski) gelang es 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

Definitionen	Anmerkungen
Voraussetzung: Es seien $A,B,R$ Mengen und $n\in {{\mathbb {N} }^{*}}{\text{ }}\!\!\backslash \!\!{\text{ }}\{1\}$ (also $n>1$).
Für beliebige Objekte $a,b$ gilt:: $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$|| $(a,b)$ heißt „geordnetes Paar“. Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass $(a,b)=(b,a)\Leftrightarrow a=b$ gilt. $(a,b)$ lässt sich rekursiv zum geordneten $n$-Tupel $({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})$ verallgemeinern. Spezielle Namen sind für $n=3$ „Tripel“ und für $n=4$ „Quadrupel“.
: $A\times B:=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}$	$A\times B$ heißt „Produktmenge“ oder „kartesisches Produkt“ (von $A$ und $B$). $A\times B$ lässt sich rekursiv zu ${{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}$ verallgemeinern.
$R$ ist genau dann eine $n$-stellige Relation, wenn $R$ nur aus geordneten $n$-Tupeln besteht.	2-stellige Relationen heißen auch „binäre Relationen“, sie bestehen damit nur aus geordneten Paaren.
$R$ ist genau dann eine Relation von $A$ nach $R$, wenn $R\,\subseteq \,A\,\times \,B$ gilt.	Die geometrische Beziehung „Punkt liegt auf Gerade“ ist eine Relation von einer Punktmenge nach einer Geradenmenge.
$R$ ist genau dann eine Relation in $A$, wenn $R\,\subseteq \,A\,\times \,A$ gilt.	Die „Größer-als-Beziehung“ ist eine Relation in einer Menge von Zahlen.

Für binäre Relationen wird folgende Schreibweise vereinbart:: $xRy:\Leftrightarrow (x,y)\in R$

Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen

Definitionen	Anmerkungen
Voraussetzung: $A,B,R$ seien Mengen, $R\neq \varnothing$ und $R\subseteq M\times M$.	Die nachfolgenden Erläuterungen deuten $xRy$ als einen „Pfeil von $x$ nach $y$“.
$R$ ist symmetrisch $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y:$ wenn $xRy$ dann $yRx$.	Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph).
$R$ ist asymmetrisch $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y:$ wenn $xRy$ dann nicht $yRx$. )	Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph).
$R$ ist identitiv $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y:$ wenn $xRy$ und $yRx$ dann $x=y$.	Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich.
$R$ ist transitiv $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y,z:$ wenn $xRy$ und $yRz$ dann $xRz$.	Wenn überhaupt eine Verbindung, dann eine kürzeste (Existenz von Überbrückungspfeilen).
$R$ ist reflexiv in$M$ $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x:$ $xRx$.	Überall Schleifen.
$R$ ist irreflexiv in$M$ $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x:$ nicht $xRx$.	Nirgends Schleifen.
$R$ ist konnex in$M$ $:\Leftrightarrow$ Es gilt für alle $x,y:$ $xRy$ oder $yRx$.	Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen.

• Zur Beachtung: Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz „in $M$“, was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
• Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
• Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Halbordnungsrelation, wenn sie reflexiv, identitiv und transitiv ist.
• Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Totalordnungsrelation, wenn sie identitiv, transitiv und konnex ist.
• Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Striktordnungsrelation, wenn sie asymmetrisch und transitiv ist.

Literatur

• Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.