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Funktionenplotter: Unterschied zwischen den Versionen
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* Ein Funktionsplot einer reellen Funktion ''f'' kann im Allgemeinen noch nicht einmal als „Teilmenge“ des (auf ein Teilintervall von D<sub>''f''</sub> eingeschränkten) Funktionsgraphen von ''f'' angesehen werden.<br /> | * Ein Funktionsplot einer reellen Funktion ''f'' kann im Allgemeinen noch nicht einmal als „Teilmenge“ des (auf ein Teilintervall von D<sub>''f''</sub> eingeschränkten) Funktionsgraphen von ''f'' angesehen werden.<br /> | ||
Die erste Feststellung ist trivial, die zweite bedarf einer Erläuterung. Sie gründet sich auf die bei Funktionenplottern vorliegende zweifache '''Diskretisierung''' durch eine horizontale „'''Abtastung'''“ (auch „Sampling“ genannt) und eine vertikale „'''Quantisierung'''“, wie beides entsprechend auch beim Scannen von Bildern und bei der digitalen Aufzeichnung akustischer Signale vorliegt: Sowohl horizontal als auch vertikal kommen nur endlich viele Werte für die geordneten Paare (''m'', ''n'') der Pixel in Frage (s. o.). Und selbst dann, wenn die „horizontalen“ Abtaststützstellen ''m'' bestimmten originalen Argumentstellen ''x'' maßstäblich entsprechen würden (was nicht eintreten muss), so werden die vertikalen „Abtastwerte“ (die sog. „'''Samples'''“) im Allgemeinen nur maßstäbliche ''Approximationen'' der jeweiligen Funktionswerte ''f(x)'' sein können. | Die erste Feststellung ist trivial, die zweite bedarf einer Erläuterung. Sie gründet sich auf die bei Funktionenplottern vorliegende zweifache '''Diskretisierung''' durch eine horizontale „'''Abtastung'''“ (auch „Sampling“ genannt) und eine vertikale „'''Quantisierung'''“, wie beides entsprechend auch beim Scannen von Bildern und bei der digitalen Aufzeichnung akustischer Signale vorliegt: Sowohl horizontal als auch vertikal kommen nur endlich viele Werte für die geordneten Paare (''m'', ''n'') der Pixel in Frage (s. o.). Und selbst dann, wenn die „horizontalen“ Abtaststützstellen ''m'' bestimmten originalen Argumentstellen ''x'' maßstäblich entsprechen würden (was nicht eintreten muss), so werden die vertikalen „Abtastwerte“ (die sog. „'''Samples'''“) im Allgemeinen nur maßstäbliche ''Approximationen'' der jeweiligen Funktionswerte ''f(x)'' sein können. | ||
<div id="Simulation_Funktionsgraph"></div> | |||
==Funktionsplot als Simulation== | ==Funktionsplot als Simulation== | ||
Bernard Winkelmann spricht daher von ''Simulation eines Funktionsgraphen'' durch einen Funktionenplotter, und zwar definiert er zuvor: <ref>[Winkelmann 1992, 34]</ref> | Bernard Winkelmann spricht daher von ''Simulation eines Funktionsgraphen'' durch einen Funktionenplotter, und zwar definiert er zuvor: <ref>[Winkelmann 1992, 34]</ref> | ||
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Und bezogen auf das „Funktionenplotten“ schreibt er dann: | Und bezogen auf das „Funktionenplotten“ schreibt er dann: | ||
:: Das mathematische Objekt ist der Graph einer Funktion, z. B. sin ''x'' für reelle ''x''. Für die Simulation muß ich die Zahlengerade durch ein endliches Intervall ersetzen (Randbedingung), dieses Intervall durch endlich-viele Punkte darin approximieren, für diese Punkte eine Approximation des Funktionswertes berechnen, die entsprechenden Punkte durch Bildschirmpixel approximieren und diese durch Zwischenpixel verbinden.<br /> | :: Das mathematische Objekt ist der Graph einer Funktion, z. B. sin ''x'' für reelle ''x''. Für die Simulation muß ich die Zahlengerade durch ein endliches Intervall ersetzen (Randbedingung), dieses Intervall durch endlich-viele Punkte darin approximieren, für diese Punkte eine Approximation des Funktionswertes berechnen, die entsprechenden Punkte durch Bildschirmpixel approximieren und diese durch Zwischenpixel verbinden.<br /> | ||
Funktionenplotter liefern aber nicht nur „pixelige“ und ggf. „unschöne“ Funktionsplots als „Simulation“ eines Funktionsgraphen, sondern diese Funktionsplots können wegen des sog. „[[Aliasing|Aliasings]]“ (auch als „Stroboskopeffekt“ bekannt <ref>[Winkelmann 1992, 42]</ref>) sogar katastrophal falsch sein, und zwar auch bei hoher Auflösung (also bei großer Abtastrate). <ref>Vgl. zu all diesen Aspekten: [Hischer 2002], [Hischer 2004], [Hischer 2005] und [Hischer 2006].</ref><br /> | Funktionenplotter liefern aber nicht nur „pixelige“ und ggf. „unschöne“ Funktionsplots als „Simulation“ eines Funktionsgraphen, sondern diese Funktionsplots können wegen des sog. „[[Aliasing|Aliasings]]“ <ref> Aussprache siehe https://www.dict.cc/?s=aliasing</ref> (auch als „Stroboskopeffekt“ bekannt <ref>[Winkelmann 1992, 42]</ref>) sogar katastrophal falsch sein, und zwar auch bei hoher Auflösung (also bei großer Abtastrate). <ref>Vgl. zu all diesen Aspekten: [Hischer 2002], [Hischer 2004], [Hischer 2005] und [Hischer 2006].</ref><br /> | ||
Aber: Wenn man einen Funktionsplot als „Simulation“ erkennt, dann ist auch der klassisch von Hand (etwa mit Hilfe eines Kurvenlineals) gezeichnete „Funktionsgraph“ lediglich eine Simulation des eigentlichen (als Menge von geordneten Paaren definierten) Funktionsgraphen! | Aber: Wenn man einen Funktionsplot als „Simulation“ erkennt, dann ist auch der klassisch von Hand (etwa mit Hilfe eines Kurvenlineals) gezeichnete „Funktionsgraph“ lediglich eine Simulation des eigentlichen (als Menge von geordneten Paaren definierten) Funktionsgraphen! | ||
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* [[Horst Hischer|Hischer, Horst]] [2002]: [http://www.horst.hischer.de/publikationen/buecher/2002-mu-neumed/cover.htm Mathematikunterricht und Neue Medien. Hintergründe und Begründungen in fachdidaktischer und fachübergreifender Sicht.] Hildesheim: Franzbecker, S. 192 ff. (3., durchgesehene und korrigierte Auflage 2005). | * [[Horst Hischer|Hischer, Horst]] [2002]: [http://www.horst.hischer.de/publikationen/buecher/2002-mu-neumed/cover.htm Mathematikunterricht und Neue Medien. Hintergründe und Begründungen in fachdidaktischer und fachübergreifender Sicht.] Hildesheim: Franzbecker, S. 192 ff. (3., durchgesehene und korrigierte Auflage 2005). | ||
* — [2004]: [http://horst.hischer.de/publikationen/zeitschr-beitraege/2004-MU-Treppenfunktionen/Preprint115.pdf Treppenfunktionen und Neue Medien — medienpädagogische Aspekte.] In: Weigand, Hans-Georg (Hrsg.): Funktionales Denken, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''50'''(2004)6, 36–45. | * — [2004]: [http://horst.hischer.de/publikationen/zeitschr-beitraege/2004-MU-Treppenfunktionen/Preprint115.pdf Treppenfunktionen und Neue Medien — medienpädagogische Aspekte.] In: Weigand, Hans-Georg (Hrsg.): Funktionales Denken, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''50'''(2004)6, 36–45. | ||
* — [2005]: [http://horst.hischer.de/publikationen/buch-beitraege/2005-Festschrift_Cohors/Hischer_Preprint130.pdf Aliasing und Neue Medien — Ein Beitrag zur Integrativen Medienpädagogik.] In: Kaune, Christa & Schwank, Inge & Sjuts, Johann (Hrsg.): Mathematikdidaktik im Wissenschaftsgefüge — Zum Verstehen und Unterrichten mathematischen Denkens. Festschrift für Elmar | * — [2005]: [http://horst.hischer.de/publikationen/buch-beitraege/2005-Festschrift_Cohors/Hischer_Preprint130.pdf Aliasing und Neue Medien — Ein Beitrag zur Integrativen Medienpädagogik.] In: Kaune, Christa & Schwank, Inge & Sjuts, Johann (Hrsg.): Mathematikdidaktik im Wissenschaftsgefüge — Zum Verstehen und Unterrichten mathematischen Denkens. Festschrift für [[Elmar Cohors-Fresenborg]]. Osnabrück: Schriftenreihe des FMD, Nr. 40.1, 2005, 115–129. | ||
* — [2006]: [http://horst.hischer.de/publikationen/zeitschr-beitraege/2006-MU-Aliasing/2006-Preprint111.pdf Abtast-Moiré-Phänomene als Aliasing.] In: Ziegenbalg, Jochen (Hrsg.): Algorithmen, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''52'''(2006)1, 18–31. | * — [2006]: [http://horst.hischer.de/publikationen/zeitschr-beitraege/2006-MU-Aliasing/2006-Preprint111.pdf Abtast-Moiré-Phänomene als Aliasing.] In: Ziegenbalg, Jochen (Hrsg.): Algorithmen, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''52'''(2006)1, 18–31. | ||
* — [2012]: [http://www.springer.com/mathematics/book/978-3-8348-1888-1 Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur, Funktion, Zahl.] Wiesbaden: Springer Spektrum. | * — [2012]: [http://www.springer.com/mathematics/book/978-3-8348-1888-1 Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur, Funktion, Zahl.] Wiesbaden: Springer Spektrum. | ||