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Funktionenplotter: Unterschied zwischen den Versionen
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==Übersicht== | ==Übersicht== | ||
Funktionenplotter sind zum Bereich der [[Neue Medien|Neuen Medien]] gehörende digitale Werkzeuge. Ein Funktionenplotter ist ein eigenständiges Programm oder ein Plugin, das auf dem Display eines Computers einen sog. '''Funktionsplot''' als ausschnittsweise Visualisierung des Funktionsgraphen einer reellen termdefinierbaren Funktion in einem Bildschirmfenster erzeugt. Ein Funktionenplotter kann nur dann aus einer termdefinierbaren Funktion einen Funktionsplot erzeugen, wenn ihr Funktionsterm mit Hilfe der auf diesem Funktionenplotter verfügbaren Standardfunktionen bildbar ist. Die Syntax zur Eingabe eines Funktionsterms kann sich zwar zwischen verschiedenen Funktionenplottern unterscheiden, es handelt sich jedoch in der Regel um für Computerprogramme übliche Befehle und Bezeichnungen der Standardfunktionen (z. B. „sqrt“ für Quadratwurzeln, „log“ für den natürlichen Logarithmus und „exp“ für Exponentialfunktionen). Häufig kann der Benutzer den angezeigten Wertebereich angeben und interaktiv verändern sowie die Achseneinteilung bestimmen. Viele Funktionenplotter erlauben die simultane Visualisierung mehrerer Funktionen in einem Koordinatensystem und entsprechend auch die Anzeige mehrerer Repräsentanten einer Funktionenschar. <br /> | Funktionenplotter sind zum Bereich der [[Neue Medien|Neuen Medien]] gehörende digitale Werkzeuge. Ein '''Funktionenplotter''' (nicht „Funktionsplotter“) ist ein eigenständiges Programm oder ein Plugin, das auf dem Display eines Computers einen sog. <div id="Funktionsplot"></div>'''Funktionsplot''' als ausschnittsweise Visualisierung des [[Funktion: mengentheoretische Auffassung#Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] einer reellen [[Term|termdefinierbaren]] Funktion in einem Bildschirmfenster erzeugt. Ein Funktionenplotter kann nur dann aus einer termdefinierbaren Funktion einen Funktionsplot erzeugen, wenn ihr Funktionsterm mit Hilfe der auf diesem Funktionenplotter verfügbaren Standardfunktionen bildbar ist. Die Syntax zur Eingabe eines Funktionsterms kann sich zwar zwischen verschiedenen Funktionenplottern unterscheiden, es handelt sich jedoch in der Regel um für Computerprogramme übliche Befehle und Bezeichnungen der Standardfunktionen (z. B. „sqrt“ für Quadratwurzeln, „log“ für den natürlichen Logarithmus und „exp“ für Exponentialfunktionen). Häufig kann der Benutzer den angezeigten Wertebereich angeben und interaktiv verändern sowie die Achseneinteilung bestimmen. Viele Funktionenplotter erlauben die simultane Visualisierung mehrerer Funktionen in einem Koordinatensystem und entsprechend auch die Anzeige mehrerer Repräsentanten einer Funktionenschar. <br /> | ||
Funktionenplotter sind üblicher Bestandteil [[graphikfähige Taschenrechner|graphikfähiger Taschenrechner]] (GTR) und Taschencomputer (TC). Außerdem findet man sie als Beigabe zu vielen heute üblichen [[Computeralgebrasysteme|Computeralgebrasystemen]] (CAS), auch wenn sie nichts mit „Computeralgebra“ zu tun haben. <br /> | Funktionenplotter sind üblicher Bestandteil [[graphikfähige Taschenrechner|graphikfähiger Taschenrechner]] (GTR) und Taschencomputer (TC). Außerdem findet man sie als Beigabe zu vielen heute üblichen [[Computeralgebrasysteme|Computeralgebrasystemen]] (CAS), auch wenn sie nichts mit „Computeralgebra“ zu tun haben. <br /> | ||
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==Zur Geschichte <small><small><ref>[Hischer 2002, 246 f.]</ref></small></small>== | ==Zur Geschichte <small><small><ref>[Hischer 2002, 246 f.]</ref></small></small>== | ||
Schon die Bezeichnung weist auf eine lange Geschichte hin: Ein „'''plotter'''“ ist im Englischen ein „'''Planzeichner'''“, der einen „'''plot'''“ liefert, und das ist die ursprüngliche Anwendung und Zielsetzung: Auf großen ebenen Tischen bewegen sich parallel zu einer Seite eine Schiene und auf dieser orthogonal dazu ein Schlitten, der einen Tuschestift hält, so dass dieser Stift wie in einem kartesischen Koordinatensystem „jeden“ Punkt eines darunter liegenden Zeichenblattes anfahren kann. Solche Plotter konnten durch ein Computerprogramm (Anfang der 1960er Jahre vor allem in ''ALGOL 60'' oder ''FORTRAN'' geschrieben) digital gesteuert werden, und der Zeichenstift konnte zusätzlich durch entsprechende Befehle angehoben und abgesenkt werden. Dadurch war es möglich, beliebige zweidimensionale Tuschezeichnungen inklusive Beschriftung z. B. in Normschrift „quasi-analog“ anzufertigen, was insbesondere für jegliche Baupläne sehr nützlich war. Und natürlich konnte man damit auch mathematische Kurven zeichnen lassen, was z. B. von Physikern genutzt wurde: „''Kurvenschreiber''“ waren u. a. in der Experimentalphysik als rein „analoge“ Systeme schon seit Langem üblich und wichtig, so insbesondere als „''x-y-Schreiber''“ (auf rechteckig begrenztem Träger) oder als „''t-y-Schreiber''“ (auf „Endlospapier“ zur zeitabhängigen Datenerfassung, so z. B. in der Meteorologie, in der Seismographie und früher in der Medizin beim EKG. Solche „Zeichentische“ gab es bereits seit den Anfängen der sich durchsetzenden Großcomputer um 1960 herum in großer Perfektion. Geradezu revolutionär war hier der von [http://www.konrad-zuse.de/ Konrad Zuse] entwickelte, 1961 vorgestellte, durch Planetengetriebe gesteuerte Zeichentisch „Graphomat Z64“, der bis zum Zeichenformat von 1,2 m x 1,4 m existierte und vierfarbige Zeichnungen (also „plots“) erstellen konnte. <ref>http://www.konrad-zuse.net/zuse-kg/rechner/der-graphomat-z64/seite01.html</ref><br /><br /> | Schon die Bezeichnung weist auf eine lange Geschichte hin: Ein „'''plotter'''“ ist im Englischen ein „'''Planzeichner'''“, der einen „'''plot'''“ liefert, und das ist die ursprüngliche Anwendung und Zielsetzung: Auf großen ebenen Tischen bewegen sich parallel zu einer Seite eine Schiene und auf dieser orthogonal dazu ein Schlitten, der einen Tuschestift hält, so dass dieser Stift wie in einem kartesischen Koordinatensystem „jeden“ Punkt eines darunter liegenden Zeichenblattes anfahren kann. Solche Plotter konnten durch ein Computerprogramm (Anfang der 1960er Jahre vor allem in ''ALGOL 60'' oder ''FORTRAN'' geschrieben) digital gesteuert werden, und der Zeichenstift konnte zusätzlich durch entsprechende Befehle angehoben und abgesenkt werden. Dadurch war es möglich, beliebige zweidimensionale Tuschezeichnungen inklusive Beschriftung z. B. in Normschrift „quasi-analog“ anzufertigen, was insbesondere für jegliche Baupläne sehr nützlich war. Und natürlich konnte man damit auch mathematische Kurven zeichnen lassen, was z. B. von Physikern genutzt wurde: „''Kurvenschreiber''“ waren u. a. in der Experimentalphysik als rein „analoge“ Systeme schon seit Langem üblich und wichtig, so insbesondere als „''x-y-Schreiber''“ (auf rechteckig begrenztem Träger) oder als „''t-y-Schreiber''“ (auf „Endlospapier“ zur zeitabhängigen Datenerfassung, so z. B. in der Meteorologie, in der Seismographie und früher (und teilweise noch heute) in der Medizin beim EKG. Solche „Zeichentische“ gab es bereits seit den Anfängen der sich durchsetzenden Großcomputer um 1960 herum in großer Perfektion. Geradezu revolutionär war hier der von [http://www.konrad-zuse.de/ Konrad Zuse] entwickelte, 1961 vorgestellte, durch Planetengetriebe gesteuerte Zeichentisch „Graphomat Z64“, der bis zum Zeichenformat von 1,2 m x 1,4 m existierte und vierfarbige Zeichnungen (also „plots“) erstellen konnte. <ref>http://www.konrad-zuse.net/zuse-kg/rechner/der-graphomat-z64/seite01.html</ref><br /><br /> | ||
Mit dem Aufkommen der ersten Arbeitsplatzcomputer Ende der 1970er Jahre wuchs der Wunsch der Anwender zur Erzeugung von Funktionsgraphen mit dem eigenen System. Zwar gab es damals auch kleinere Plotter – aber aufgrund der (völlig neuen!) Verfügbarkeit individueller (Nadel-)Drucker entstanden Anfang der 1980er Jahre dann die ersten sog. Funktionenplotter aus einer Kombination von noch sehr grober Bildschirmdarstellung und Druckern (zunächst Nadeldruckern, dann vor allem Tinten- und Laserdruckern). Die Bezeichnung „Plotter“ passte dafür eigentlich nicht mehr, weil diese „haushaltsüblichen“ Funktionenplotter keine „quasi-analogen“ Planzeichner waren. Die Ergebnisse waren einerseits für die normalen Anwender zunächst durchaus eindrucksvoll, denn sie kannten bis auf die eigenhändig skizzierten Funktionsgraphen meist noch nichts anderes, und andererseits waren die Ergebnisse schlicht miserabel – gemessen an dem Qualitätsstandard, der schon rund 20 Jahre vorher mit den „quasi-analogen“ Tuscheplottern möglich und üblich war. Während also ein Plotter ursprünglich ein analog oder digital gesteuertes materielles Gerät war, ist ein Funktionenplotter als ein Softwareprodukt nur ein virtuelles „Gerät“. | Mit dem Aufkommen der ersten Arbeitsplatzcomputer Ende der 1970er Jahre wuchs der Wunsch der Anwender zur Erzeugung von Funktionsgraphen mit dem eigenen System. Zwar gab es damals auch kleinere Plotter – aber aufgrund der (völlig neuen!) Verfügbarkeit individueller (Nadel-)Drucker entstanden Anfang der 1980er Jahre dann die ersten sog. Funktionenplotter aus einer Kombination von noch sehr grober Bildschirmdarstellung und Druckern (zunächst Nadeldruckern, dann vor allem Tinten- und Laserdruckern). Die Bezeichnung „Plotter“ passte dafür eigentlich nicht mehr, weil diese „haushaltsüblichen“ Funktionenplotter keine „quasi-analogen“ Planzeichner waren. Die Ergebnisse waren einerseits für die normalen Anwender zunächst durchaus eindrucksvoll, denn sie kannten bis auf die eigenhändig skizzierten Funktionsgraphen meist noch nichts anderes, und andererseits waren die Ergebnisse schlicht miserabel – gemessen an dem Qualitätsstandard, der schon rund 20 Jahre vorher mit den „quasi-analogen“ Tuscheplottern möglich und üblich war. Während also ein Plotter ursprünglich ein analog oder digital gesteuertes materielles Gerät war, ist ein Funktionenplotter als ein Softwareprodukt nur ein virtuelles „Gerät“. | ||
== | ==„Funktionsplot“ versus „Funktionsgraph“== | ||
Der von einem Funktionenplotter erzeugte '''Funktionsplot''' ist auf den ersten Blick eine „''Visualisierung des Funktionsgraphen einer reellen termdefinierbaren Funktion in einem Bildschirmfenster''“ (s. o.). Bei näherer Betrachtung erweist er sich als ''Visualisierung einer rechnerintern erzeugten Wertetabelle'' einer gegebenen Funktion. Daraus folgt sogar, dass man bei reellen Funktionen zwischen „''Funktionsgraph''“ und „''Funktionsplot''“ unterscheiden muss, weil ein Funktionsplot nur als ''Simulation eines Funktionsgraphen einer reellen Funktion'' (kurz: Simulation einer reellen Funktion) anzusehen ist: <br /> | Der von einem Funktionenplotter erzeugte '''Funktionsplot''' ist auf den ersten Blick eine „''Visualisierung des Funktionsgraphen einer reellen termdefinierbaren Funktion in einem Bildschirmfenster''“ (s. o.). Bei näherer Betrachtung erweist er sich als ''Visualisierung einer rechnerintern erzeugten Wertetabelle'' einer gegebenen Funktion. Daraus folgt sogar, dass man bei reellen Funktionen zwischen „''Funktionsgraph''“ und „''Funktionsplot''“ unterscheiden muss, weil ein Funktionsplot nur als ''Simulation eines Funktionsgraphen einer reellen Funktion'' (kurz: Simulation einer reellen Funktion) anzusehen ist: <br /> | ||
Der [[Funktion: mengentheoretische Auffassung#Funktionsgraph|'''Funktionsgraph''']] einer gegebenen Funktion ''f'' ist die Menge aller geordneten Paare (''x'', ''f''(''x'')), wobei ''x'' alle Werte aus der Definitionsmenge D<sub>''f''</sub> annimmt. Der '''Funktionsplot''' ist hingegen die Menge aller der von einem Funktionenplotter erzeugten Pixel (die als geordnete Paare (''m'', ''n'') mit den „Koordinaten“ dieser Pixel aufzufassen sind). Damit sind aber „''Funktionsgraph einer Funktion''“ und „''Funktionsplot einer Funktion''“ im Allgemeinen streng zu unterscheiden, denn: | Der [[Funktion: mengentheoretische Auffassung#Funktionsgraph|'''Funktionsgraph''']] einer gegebenen Funktion ''f'' ist die Menge aller geordneten Paare (''x'', ''f''(''x'')), wobei ''x'' alle Werte aus der Definitionsmenge D<sub>''f''</sub> annimmt. Der '''Funktionsplot''' ist hingegen die Menge aller der von einem Funktionenplotter erzeugten Pixel (die als geordnete Paare (''m'', ''n'') mit den „Koordinaten“ dieser Pixel aufzufassen sind). Damit sind aber „''Funktionsgraph einer Funktion''“ und „''Funktionsplot einer Funktion''“ im Allgemeinen streng zu unterscheiden, denn: | ||
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* Ein Funktionsplot einer reellen Funktion ''f'' kann im Allgemeinen noch nicht einmal als „Teilmenge“ des (auf ein Teilintervall von D<sub>''f''</sub> eingeschränkten) Funktionsgraphen von ''f'' angesehen werden.<br /> | * Ein Funktionsplot einer reellen Funktion ''f'' kann im Allgemeinen noch nicht einmal als „Teilmenge“ des (auf ein Teilintervall von D<sub>''f''</sub> eingeschränkten) Funktionsgraphen von ''f'' angesehen werden.<br /> | ||
Die erste Feststellung ist trivial, die zweite bedarf einer Erläuterung. Sie gründet sich auf die bei Funktionenplottern vorliegende zweifache '''Diskretisierung''' durch eine horizontale „'''Abtastung'''“ (auch „Sampling“ genannt) und eine vertikale „'''Quantisierung'''“, wie beides entsprechend auch beim Scannen von Bildern und bei der digitalen Aufzeichnung akustischer Signale vorliegt: Sowohl horizontal als auch vertikal kommen nur endlich viele Werte für die geordneten Paare (''m'', ''n'') der Pixel in Frage (s. o.). Und selbst dann, wenn die „horizontalen“ Abtaststützstellen ''m'' bestimmten originalen Argumentstellen ''x'' maßstäblich entsprechen würden (was nicht eintreten muss), so werden die vertikalen „Abtastwerte“ (die sog. „'''Samples'''“) im Allgemeinen nur maßstäbliche ''Approximationen'' der jeweiligen Funktionswerte ''f(x)'' sein können. | Die erste Feststellung ist trivial, die zweite bedarf einer Erläuterung. Sie gründet sich auf die bei Funktionenplottern vorliegende zweifache '''Diskretisierung''' durch eine horizontale „'''Abtastung'''“ (auch „Sampling“ genannt) und eine vertikale „'''Quantisierung'''“, wie beides entsprechend auch beim Scannen von Bildern und bei der digitalen Aufzeichnung akustischer Signale vorliegt: Sowohl horizontal als auch vertikal kommen nur endlich viele Werte für die geordneten Paare (''m'', ''n'') der Pixel in Frage (s. o.). Und selbst dann, wenn die „horizontalen“ Abtaststützstellen ''m'' bestimmten originalen Argumentstellen ''x'' maßstäblich entsprechen würden (was nicht eintreten muss), so werden die vertikalen „Abtastwerte“ (die sog. „'''Samples'''“) im Allgemeinen nur maßstäbliche ''Approximationen'' der jeweiligen Funktionswerte ''f(x)'' sein können. | ||
<div id="Simulation_Funktionsgraph"></div> | |||
==Funktionsplot als Simulation== | ==Funktionsplot als Simulation== | ||
Bernard Winkelmann spricht daher von ''Simulation eines Funktionsgraphen'' durch einen Funktionenplotter, und zwar definiert er zuvor: <ref>[Winkelmann 1992, 34]</ref> | Bernard Winkelmann spricht daher von ''Simulation eines Funktionsgraphen'' durch einen Funktionenplotter, und zwar definiert er zuvor: <ref>[Winkelmann 1992, 34]</ref> | ||
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Und bezogen auf das „Funktionenplotten“ schreibt er dann: | Und bezogen auf das „Funktionenplotten“ schreibt er dann: | ||
:: Das mathematische Objekt ist der Graph einer Funktion, z. B. sin ''x'' für reelle ''x''. Für die Simulation muß ich die Zahlengerade durch ein endliches Intervall ersetzen (Randbedingung), dieses Intervall durch endlich-viele Punkte darin approximieren, für diese Punkte eine Approximation des Funktionswertes berechnen, die entsprechenden Punkte durch Bildschirmpixel approximieren und diese durch Zwischenpixel verbinden.<br /> | :: Das mathematische Objekt ist der Graph einer Funktion, z. B. sin ''x'' für reelle ''x''. Für die Simulation muß ich die Zahlengerade durch ein endliches Intervall ersetzen (Randbedingung), dieses Intervall durch endlich-viele Punkte darin approximieren, für diese Punkte eine Approximation des Funktionswertes berechnen, die entsprechenden Punkte durch Bildschirmpixel approximieren und diese durch Zwischenpixel verbinden.<br /> | ||
Funktionenplotter liefern aber nicht nur „pixelige“ und ggf. „unschöne“ Funktionsplots als „Simulation“ eines Funktionsgraphen, sondern diese Funktionsplots können wegen des sog. „[[Aliasing|Aliasings]]“ (auch als „Stroboskopeffekt“ bekannt <ref>[Winkelmann 1992, 42]</ref>) sogar katastrophal falsch sein, und zwar auch bei hoher Auflösung (also bei großer Abtastrate). <ref>Vgl. zu all diesen Aspekten: [Hischer 2002], [Hischer 2004], [Hischer 2005] und [Hischer 2006].</ref> | Funktionenplotter liefern aber nicht nur „pixelige“ und ggf. „unschöne“ Funktionsplots als „Simulation“ eines Funktionsgraphen, sondern diese Funktionsplots können wegen des sog. „[[Aliasing|Aliasings]]“ <ref> Aussprache siehe https://www.dict.cc/?s=aliasing</ref> (auch als „Stroboskopeffekt“ bekannt <ref>[Winkelmann 1992, 42]</ref>) sogar katastrophal falsch sein, und zwar auch bei hoher Auflösung (also bei großer Abtastrate). <ref>Vgl. zu all diesen Aspekten: [Hischer 2002], [Hischer 2004], [Hischer 2005] und [Hischer 2006].</ref><br /> | ||
Aber: Wenn man einen Funktionsplot als „Simulation“ erkennt, dann ist auch der klassisch von Hand (etwa mit Hilfe eines Kurvenlineals) gezeichnete „Funktionsgraph“ lediglich eine Simulation des eigentlichen (als Menge von geordneten Paaren definierten) Funktionsgraphen! | |||
==Die „Hauptsätze für Funktionenplotter“ <small><small><ref>Vgl. [Hischer 2002, 307 ff.].</ref></small></small>== | ==Die „Hauptsätze für Funktionenplotter“ <small><small><ref>Vgl. [Hischer 2002, 307 ff.].</ref></small></small>== | ||
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==Literatur== | ==Literatur== | ||
* [[Horst Hischer|Hischer, Horst]] [2002]: [http://www.horst.hischer.de/publikationen/buecher/2002-mu-neumed/cover.htm Mathematikunterricht und Neue Medien. Hintergründe und Begründungen in fachdidaktischer und fachübergreifender Sicht.] Hildesheim: Franzbecker, S. 192 ff. (3., durchgesehene und korrigierte Auflage 2005). | * [[Horst Hischer|Hischer, Horst]] [2002]: [http://www.horst.hischer.de/publikationen/buecher/2002-mu-neumed/cover.htm Mathematikunterricht und Neue Medien. Hintergründe und Begründungen in fachdidaktischer und fachübergreifender Sicht.] Hildesheim: Franzbecker, S. 192 ff. (3., durchgesehene und korrigierte Auflage 2005). | ||
* — [2004]: Treppenfunktionen und Neue Medien — medienpädagogische Aspekte. In: Weigand, Hans-Georg (Hrsg.): Funktionales Denken, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''50'''(2004)6, 36–45. | * — [2004]: [http://horst.hischer.de/publikationen/zeitschr-beitraege/2004-MU-Treppenfunktionen/Preprint115.pdf Treppenfunktionen und Neue Medien — medienpädagogische Aspekte.] In: Weigand, Hans-Georg (Hrsg.): Funktionales Denken, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''50'''(2004)6, 36–45. | ||
* — [2005]: Aliasing und Neue Medien — Ein Beitrag zur Integrativen Medienpädagogik. In: Kaune, Christa & Schwank, Inge & Sjuts, Johann (Hrsg.): Mathematikdidaktik im Wissenschaftsgefüge — Zum Verstehen und Unterrichten mathematischen Denkens. Festschrift für Elmar | * — [2005]: [http://horst.hischer.de/publikationen/buch-beitraege/2005-Festschrift_Cohors/Hischer_Preprint130.pdf Aliasing und Neue Medien — Ein Beitrag zur Integrativen Medienpädagogik.] In: Kaune, Christa & Schwank, Inge & Sjuts, Johann (Hrsg.): Mathematikdidaktik im Wissenschaftsgefüge — Zum Verstehen und Unterrichten mathematischen Denkens. Festschrift für [[Elmar Cohors-Fresenborg]]. Osnabrück: Schriftenreihe des FMD, Nr. 40.1, 2005, 115–129. | ||
* — [2006]: Abtast-Moiré-Phänomene als Aliasing. In: Ziegenbalg, Jochen (Hrsg.): Algorithmen, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''52'''(2006)1, 18–31. | * — [2006]: [http://horst.hischer.de/publikationen/zeitschr-beitraege/2006-MU-Aliasing/2006-Preprint111.pdf Abtast-Moiré-Phänomene als Aliasing.] In: Ziegenbalg, Jochen (Hrsg.): Algorithmen, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''52'''(2006)1, 18–31. | ||
* — [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur, Funktion, Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum. | * — [2012]: [http://www.springer.com/mathematics/book/978-3-8348-1888-1 Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur, Funktion, Zahl.] Wiesbaden: Springer Spektrum. | ||
* Winkelmann, Bernard [1992]: Zur Rolle des Rechnens in anwendungsorientierter Mathematik: Algebraische, numerische und geometrische (qualitative) Methoden und ihre jeweiligen Möglichkeiten und Grenzen. In: Hischer, Horst (Hrsg.): Mathematikunterricht im Umbruch? Bericht über die 9. Arbeitstagung des Arbeitskreises „Mathematikunterricht und Informatik“ in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik e. V. vom 27. bis 29. September 1991 in Wolfenbüttel. Bad Salzdetfurth: Franzbecker, 32–42. | * Winkelmann, Bernard [1992]: Zur Rolle des Rechnens in anwendungsorientierter Mathematik: Algebraische, numerische und geometrische (qualitative) Methoden und ihre jeweiligen Möglichkeiten und Grenzen. In: Hischer, Horst (Hrsg.): Mathematikunterricht im Umbruch? Bericht über die 9. Arbeitstagung des Arbeitskreises „Mathematikunterricht und Informatik“ in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik e. V. vom 27. bis 29. September 1991 in Wolfenbüttel. Bad Salzdetfurth: Franzbecker, 32–42. | ||
==Anmerkungen== | ==Anmerkungen== | ||
<references /> | <references /> | ||
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