Extremwertaufgaben

Extremwertaufgaben (auch Optimierungsaufgaben genannt) sind typische Aufgaben des Analysisunterrichtes der Sekundarstufe II, die Anwendungsbeispiele für meist idealisierte Probleme darstellen. Diese Probleme werden mit Hilfe von Techniken gelöst, die im Rahmen der Kurvendiskussion vermittelt werden und die Bedeutung von Minima und Maxima von Funktionen ausnutzen.

Mathematikdidaktische Beschreibung

„Unter Extremwertaufgaben versteht man Textaufgaben, bei denen eine Größe unter Beachtung einer Nebenbedingung maximiert bzw. minimiert werden soll. Die Aufgaben sind in der Regel so geartet, dass man eine Funktion von zwei Veränderlichen[Variablen] unter Benutzung einer Gleichung für die Nebenbedingung in eine Funktion einer Veränderlichen umwandelt, für die man dann die Extremstellen bestimmt. Durch den Vergleich aller lokalen Maximal- bzw. Minimalwerte in dem durch die Aufgabe gegebenen Gültigkeitsintervalls untereinander und mit den Werten am Rand des Intervalls gelangt man zu einer Lösung.“

Algorithmus zur Lösung von Extremwertaufgaben

Allgemeiner Algorithmus

1.Schritt: Welche Größe ist zu optimieren? Stellen Sie eine Funktion auf um diese Größe zu berechnen. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion.

2.Schritt: Von wie vielen Variablen hängt diese Funktion ab? Sind Variablen zu eliminieren? Suchen Sie nach Nebenbedingungen.

3.Schritt: Berechnen Sie die lokalen Extremstellen im Definitionsbereich.

4.Schritt: Sind die lokalen Extremstellen auch global? Untersuchen Sie die Randwerte der Funktion (wenn der Definitionsbereich eingeschränkt ist) oder den Grenzwert im Unendlichen (wenn der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist).

5.Schritt: Wie ist das Ergebnis (im Sachkontext) zu interpretieren?

->Ähnliche Algorithmen finden sich bei: und

Anwendungsbeispiel: Optimale Dose

Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von 1l haben, damit möglichste wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?

1. Zu optimieren ist der Oberflächeninhalt A der Dose (eines Zylinders).

A = 2πr² + 2πrh

Da r und h Strecken darstellen, sind r und h positive reelle Zahlen und größer als Null.

2. A = 2π(r)² + 2π(r)[h]

A hängt zunächst von den beiden Variablen r und h ab, folglich muss über die Nebenbedingung V = 1l = 1dm³ = 1.000cm³ eine der beiden Variablen ersetzt werden(beispielsweise h).

V = πr²h -> h = V/(πr²) = 1000/(πr²) (h bzw. r sind in cm anzugeben)

3. A = 2πr² + 2000/r

A´ = 4πr - 2000/r²

0 = 4πr - 2000/r²

-> r ≈ 5,419cm

A´´ = 4π + 4000/r³ > 0 für alle r > 0 -> lokales Minimum bei r ≈ 5,419cm

4. Betrachtet man den Grenzwert für r gegen Null, bzw. für r gegen unendlich, so wird auch der Oberflächeninhalt A unendlich groß. Da es kein weiteres Minimum gibt, ist das oben berechnete lokale Minimum auch das globale Minimum dieser Funktion.

5. r ist bereits unter 3. berechnet wurden. h ergibt sich aus V = πr²h und beträgt rund 10,839cm. Demnach betragen die optimalen Maße einer Dose mit einem Volumen voneinem Liter: r ≈ 5,419cm und h ≈ 10,839cm.