Extremwertaufgaben: Unterschied zwischen den Versionen

Extremwertaufgaben (Quelltext anzeigen)

Version vom 20. Januar 2013, 14:52 Uhr

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Haas

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-''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von 1l haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?''
+''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von <math> 1l </math> haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?''
 (Dies ist eine Standardaufgabe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben, welche sich so, oder so ähnlich in vielen Lehrbüchern wiederfindet.)
-. Zu optimieren ist der Oberflächeninhalt A der Dose (eines Zylinders).
+. Zu optimieren ist der Oberflächeninhalt <math> A </math> der Dose (eines Zylinders).
 <math>
-A = 2πr² + 2πrh
+A = 2\pi r^2 + 2\pi rh
 </math>
-Da r und h Strecken darstellen, sind r und h positive reelle Zahlen und größer als Null.
+Da <math> r </math> und <math> h </math> Strecken darstellen, sind <math> r </math> und <math> h </math> positive reelle Zahlen und größer als Null.
 .
 <math>
-A = 2π(r)² + 2π(r)[h]
+A = 2\pi (r)^2 + 2\pi (r)[h]
 </math>
-A hängt zunächst von den beiden Variablen r und h ab, folglich muss über die Nebenbedingung V = 1l = 1dm³ = 1.000cm³ eine der beiden Variablen ersetzt werden(beispielsweise h).
+<math> A </math> hängt zunächst von den beiden Variablen <math> r </math> und <math> h </math> ab, folglich muss über die Nebenbedingung <math> V = 1l = 1dm^3 = 1.000cm^3 </math> eine der beiden Variablen ersetzt werden (beispielsweise <math> h </math>).
-V = πr²h -> h = V/(πr²) = 1000/(πr²)    (h bzw. r sind in cm anzugeben)
+<math> V = \pi r^2h </math> -> <math> h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{1000}{\pi r^2} </math>   (<math> h </math> bzw. <math> r </math> sind in <math> cm </math> anzugeben)
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 .
 <math>
-A = 2πr² + \frac{2000}{r}
+A = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}
 </math>
-A´ = 4πr - 2000/r²
+<math>
+A´ = 4\pi r - \frac{2000}{r^2}
+</math>
-= 4πr - 2000/r²
+<math>
+= 4\pi r - \frac{2000}{r^2}
+</math>
--> r ≈ 5,419cm
+-> <math> r ≈ 5,419cm </math>
-A´´ = 4π + 4000/r³ > 0 für alle r > 0   -> lokales Minimum bei r ≈ 5,419cm
+<math>
+A´´ = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0 </math> für alle <math> r > 0 </math>  -> lokales Minimum bei <math> r ≈ 5,419cm </math>
-. Betrachtet man den Grenzwert für r gegen Null, bzw. für r gegen unendlich, so wird auch der Oberflächeninhalt A unendlich groß. Da es kein weiteres Minimum gibt, ist das oben berechnete lokale Minimum auch das globale Minimum dieser Funktion.
+. Betrachtet man den Grenzwert für <math> r </math> gegen Null, bzw. für <math> r </math> gegen unendlich, so wird auch der Oberflächeninhalt <math> A </math> unendlich groß. Da es kein weiteres Minimum gibt, ist das oben berechnete lokale Minimum auch das globale Minimum dieser Funktion.
-. r ist bereits unter 3. berechnet wurden. h ergibt sich aus V = πr²h und beträgt rund 10,839cm. Demnach betragen die optimalen Maße einer Dose mit einem Volumen von einem Liter: r ≈ 5,419cm und h ≈ 10,839cm.
+. <math> r </math> ist bereits unter 3. berechnet wurden. <math> h </math> ergibt sich aus <math> V = \pi r^2h </math> und beträgt rund <math> 10,839cm </math>. Demnach betragen die optimalen Maße einer Dose mit einem Volumen von einem Liter: <math> r ≈ 5,419cm </math> und <math> h ≈ 10,839cm </math>.
 ==Kognitive Probleme von Schülerinnen und Schülern==