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Kurvendiskussion mit CAS: Unterschied zwischen den Versionen

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Erkennt man a und h als variierbare Größen, kommt man auf auf die Funktion für den Materialverbrauch: M(a,h)=(h+2*a/2+2*0,6)*(4a+0,6)
Erkennt man a und h als variierbare Größen, kommt man auf auf die Funktion für den Materialverbrauch: M(a,h)=(h+2*a/2+2*0,6)*(4a+0,6)


An dieser Stelle kann man nun den CAS-Rechner bemühen und sich den 3-D Plot darstellen lassen. Doch ist dies leider noch nicht zielführend,  
An dieser Stelle kann man nun den CAS-Rechner bemühen und sich den 3-D Plot darstellen lassen.  
da der Graph in seiner Gesamtheit nicht von Interesse ist. In diesem Zusammenhang wird klar, dass man die mit CAS-Rechnern gewonnenen
Doch ist dies leider noch nicht zielführend, da der Graph in seiner Gesamtheit nicht von Interesse ist.  
Erkenntnisse stets kritisch zu hinterfragen hat. Es fehlt noch die Berücksichtigung der Nebenbedingung a^2*h=1000 l
In diesem Zusammenhang wird klar, dass man die mit CAS-Rechnern gewonnenen
Erkenntnisse stets kritisch zu hinterfragen hat. Es fehlt noch die Berücksichtigung der Nebenbedingung a^2*h=1000 Liter


Unter Nutzung dieser Nebenbedingung eliminiert man h in M(a,h) und erhält M(a)=4a^2+5,4a+0,72+4000/a+600/a^2  
Unter Nutzung dieser Nebenbedingung eliminiert man h in M(a,h) und erhält M(a)=4a^2+5,4a+0,72+4000/a+600/a^2  
Von dieser Funktion suchen wir jetzt das Minimum. Dass es ein solches gibt, zeigt uns wiederum der Plotter des CAS.  
Von dieser Funktion suchen wir jetzt das Minimum. Dass es ein solches gibt, zeigt uns wiederum der Plotter des CAS.  
An dieser Stelle ist es aber empfehlenswert, die Funktionsgleichung
An dieser Stelle ist es aber empfehlenswert, die Funktionsgleichung
M(a) qualitativ analytisch zu diskutieren. Man erkennt, dass für große und für kleine a M(a) groß wird, was bedeutet,
M(a) qualitativ analytisch zu diskutieren.
dass das gesuchte Minimum irgendwo in der Mitte liegen muss. Jetzt wird man noch eine Monotoniebetrachtung furchführen und  
Man erkennt, dass für große und für kleine a M(a) groß wird, was bedeutet,
dass das gesuchte Minimum irgendwo in der Mitte liegen muss.
Jetzt wird man noch eine Monotoniebetrachtung furchführen und  
das Monotoniekriterium benutzen. Dies sichert dei Existenz eines eindeutig bestimmten Minimums.  
das Monotoniekriterium benutzen. Dies sichert dei Existenz eines eindeutig bestimmten Minimums.  
Hier sein explizit darauf hingewiesen, dass M(a) einen Gleichung vierten Grades ist und von den Schülern nicht gelöst werden kann. Die Nutzung des CAS zur algebraischen Lösung ist aber auch nur bedingt geeignet, da die hochkomplexen algebraischen Wurzelterme erschrecken und sinnvoll interpretiert werden müssen. Es bietet sich die numerische Lösung des Rechners für das gesuchte Minumum an.
 
Hier sein explizit darauf hingewiesen, dass M(a) einen Gleichung vierten Grades ist und von den Schülern nicht gelöst werden kann.
Die Nutzung des CAS zur algebraischen Lösung ist aber auch nur bedingt geeignet, da die hochkomplexen algebraischen Wurzelterme
erschrecken und sinnvoll interpretiert werden müssen.
Es bietet sich die numerische Lösung des Rechners für das gesuchte Minumum an.
Das Ergebnis a=7,8 cm weicht stark vom realen wert a= 7,1 cm ab. Dies kann nun weiterführend interpretiert werden.  
Das Ergebnis a=7,8 cm weicht stark vom realen wert a= 7,1 cm ab. Dies kann nun weiterführend interpretiert werden.  



Version vom 5. Januar 2013, 13:40 Uhr

Die Einführung von CAS verändert die Aufgabenkultur im Mathematikunterricht, was sich insbesondere auf die Kurvendiskussion und die Herangehensweise an dieses Themenfeld auswirkt. Dabei hat die Einführung der CAS-Systeme sowohl Einfluss auf die zu untersuchenden Funktionen als auch auf die Aufgabenstellungen. In vielen Bundesländern gehört die Nutzung eines CAS-Rechners bereits zum Standard im Oberstufenunterricht, was die Frage nach einer sinnvollen Anwendung dessen im Analysiskurs bedingt.


Die neue Aufgabenkultur

Da die klassischen Aufgaben der Kurvendiskussion mit einem CAS-Rechner sehr schnell und ohne Aufwand gelöst werden können, wird eine Veränderung der Aufgabenkultur angestrebt. Diese neue Aufgabenkultur versucht

  • die qualitative Analysis stärker zu betonen
  • interessante Anwendungskontexte einzubeziehen
  • neue Technologien wie beispielsweise den CAS-Recher sinnvoll und gewinnbringend zu nutzen


Anwendungem im Sinne echter modellbildender Aktivitäten erfordern eine tiefgehende Auseinandersetzung mit einem außermathematischen Kontext, welchen es in eine mathematische Form zu bringen gilt. Dies ist ein anspuchsvolles Gebiet, da zum Einen eine sachgerechte inhaltliche Beschreibung des Problemfeldes die Schüler und den Lehrer schnell überfordern kann. Zum Anderen ist eine geeignete Mathematisierung mit schulmathematischen Mitteln oft nicht realisierbar.

Im Folgenden soll eine Aufgabe dargestellt werden, welche die angesprochenen Aspekte berücksichtigt und die im zeitgemäßen Analysisunterricht verwendet werden kann.


Aufgabenbeispiel: Die Milchtüte[1]

Wir betrachten eine 1 Liter Milchtüte aus einem beliebigen Supermarkt. Es interessiert uns, ob der Hersteller darauf geachtet hat, so wenig Pappe wie möglich zu verwenden.

Es handelt sich folglich um eine Optimierungsaufgabe.

Mögliches Vorgehen: Entleeren wir diese Milchtüte, trennen die Kleberänder und falten sie auf, erhalten wir folgendes Faltnetz. Wir entnehmen die Maße a=7,1 cm und h=19,7 cm. Dmit ergibt sich ein Volumen von 993 cm^3. Erkennt man a und h als variierbare Größen, kommt man auf auf die Funktion für den Materialverbrauch: M(a,h)=(h+2*a/2+2*0,6)*(4a+0,6)

An dieser Stelle kann man nun den CAS-Rechner bemühen und sich den 3-D Plot darstellen lassen. Doch ist dies leider noch nicht zielführend, da der Graph in seiner Gesamtheit nicht von Interesse ist. In diesem Zusammenhang wird klar, dass man die mit CAS-Rechnern gewonnenen Erkenntnisse stets kritisch zu hinterfragen hat. Es fehlt noch die Berücksichtigung der Nebenbedingung a^2*h=1000 Liter

Unter Nutzung dieser Nebenbedingung eliminiert man h in M(a,h) und erhält M(a)=4a^2+5,4a+0,72+4000/a+600/a^2 Von dieser Funktion suchen wir jetzt das Minimum. Dass es ein solches gibt, zeigt uns wiederum der Plotter des CAS. An dieser Stelle ist es aber empfehlenswert, die Funktionsgleichung M(a) qualitativ analytisch zu diskutieren. Man erkennt, dass für große und für kleine a M(a) groß wird, was bedeutet, dass das gesuchte Minimum irgendwo in der Mitte liegen muss. Jetzt wird man noch eine Monotoniebetrachtung furchführen und das Monotoniekriterium benutzen. Dies sichert dei Existenz eines eindeutig bestimmten Minimums.

Hier sein explizit darauf hingewiesen, dass M(a) einen Gleichung vierten Grades ist und von den Schülern nicht gelöst werden kann. Die Nutzung des CAS zur algebraischen Lösung ist aber auch nur bedingt geeignet, da die hochkomplexen algebraischen Wurzelterme erschrecken und sinnvoll interpretiert werden müssen. Es bietet sich die numerische Lösung des Rechners für das gesuchte Minumum an. Das Ergebnis a=7,8 cm weicht stark vom realen wert a= 7,1 cm ab. Dies kann nun weiterführend interpretiert werden.

Quellen

  1. Danckwerts/Vogel