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Baustelle:Unendliche Objekte: Unterschied zwischen den Versionen

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In der [[projektiven Geometrie]] werden [[homogene Koordinaten]] genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den <math>\mathbb{R}<sup>3</sup></math> zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die [[unendlichen Objekte]] '''Fernpunkte''' und '''Ferngeraden''' eine große Rolle.
In der [[projektiven Geometrie]] werden [[homogene Koordinaten]] genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den <math>\mathbb{R}</math><sup>3</sup> zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die [[unendlichen Objekte]] '''Fernpunkte''' und '''Ferngeraden''' eine große Rolle.
<ref name="literatur1">Literaturangaben werden über "ref" referenziert. Diese tauchen dann automatisch unter Literatur durch das "references"-tag auf. Weitere Informationen finden Sie unter [[Hilfe:Literaturangaben]]</ref>
<ref name="literatur1">Literaturangaben werden über "ref" referenziert. Diese tauchen dann automatisch unter Literatur durch das "references"-tag auf. Weitere Informationen finden Sie unter [[Hilfe:Literaturangaben]]</ref>



Version vom 5. Februar 2015, 15:01 Uhr

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In der projektiven Geometrie werden homogene Koordinaten genutzt, um die euklidische Ebene ohne Nullpunkt in den 3 zu integrieren. Hierbei spielen insbesondere die unendlichen Objekte Fernpunkte und Ferngeraden eine große Rolle. [1]

Fernpunkte

Fernpunkte sind Vektoren der Form , die nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifizierbar sind. Um dennoch eine Interpretation herleiten zu können, werden Äquivalenzklassen betrachtet.

Herleitung

Sei Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle P(t)=(x·t,y·t,1)<sup>T</sup>} ein Vektor, der mittels der DehomogenisierungAbbildung.png dem Punkt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (x·t,y·t)<sup>T</sup>} der euklidischen Ebene zugeordnet werden kann. Da in der projektiven Geometrie skalare Vielfache miteinander identifiziert werden können, gilt . Der Grenzwert t→∞ entspricht hierbei - anschaulich gesprochen - folgender Situation: Der Punkt P(t) bewegt sich auf einer Geraden, deren Richtung durch x und y festgelegt ist, in der Ebene immer weiter vom Ursprung weg.

In Darstellung der homogenen Koordinaten giltAbbildung2.png. Also repräsentieren alle Vektor der Form unendlich weit entfernte Punkte, die sogenannten Fernpunkte. Diese können mit Richtungen von Geraden der euklidischen Ebene identifiziert werden, wobei andersherum für jede Geradenrichtung einen Fernpunkt existiert.

Ferngeraden

Alle Fernpunkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Ferngeraden Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup>} .

Erklärung

Auf jeder Geraden mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (a,b)≠(0,0)} liegt ein Fernpunkt , denn es gilt für x=-b und y=a. Dieser Fernpunkt ist sogar der einzige Fernpunkt auf der Geraden g. Für die Ferngerade Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup>} gilt für jeden Fernpunkt P': Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle <P',l<sub>∞</sub>>=0} , also liegen alle Fernpunkte auf der Ferngeraden Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle l<sub>∞</sub>=(0,0,1)<sup>T</sup>} .

  1. Literaturangaben werden über "ref" referenziert. Diese tauchen dann automatisch unter Literatur durch das "references"-tag auf. Weitere Informationen finden Sie unter Hilfe:Literaturangaben